2.5.2 向量在物理中的应用举例ppt配用优秀教学设计

2.5 平面向量应用举例

2.5.2 向量在物理中的应用举例

湘阴知源学校 程运新

教材分析：

向量与物理学天然相联．向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题的认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．

用向量研究物理问题的相关知识．

(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量，那么它们的合成与分解就是向量的加、减法，

运动的叠加亦用到向量的合成；

(2)动量是数乘向量；

(3)功即是力与所产生位移的数量积．

用向量知识研究物理问题的基本思路和方法．

(1)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；

(2)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；

(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；

(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．

教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．

教学目标与核心素养

课程目标

学科素养

d 直观想象：掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤；

教学重点难点：

1.教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算；2.教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题。

1

[来源:Zxxk.Com]

教学过程：

一、复习回顾

1.

你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？

二、讲解新课：[k.Com]

探究1：利用向量解决矢量的合成与分解问题

例1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；

在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？

1|=|

2|，

由向量加法的平行四边形法则，力的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到

解：不妨设|

1|=|G|．

|

2cos2通过上面的式子我们发现，当由0~180逐渐变大时，由0~90逐渐变大，

22

1、

2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．

即

思考：(1) 为何值时，

最小，最小值是多少?

(2)

能等于

吗?为什么?[来源学+科+网Z+X+X+K]cos

1|由小逐渐变大，

的值由大逐渐变小，因此，|

分析：当0时，|F1|最小，最小值是1|G|，当120时，|F1|=|G|．

2[来源学科网]思考：你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗? (1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；

(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；

(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；

(4)问题的答案：回到问题的初始状态，

解决相关物理现象.

例2 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d500m，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？

分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．

考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸．

解：|v|=|v1||v2|96(km/h)，

222

所以， td0.5603.1(min)．

|v|96答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min．

探究2：利用向量数量积解决力的做功问题

例3 已知两恒力F1＝(3, 4)，F2＝(6,－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0). (1)求力F1，F2分别对质点所做的功；

(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功.

= (7, 0)

(20, 15) = (

【解】(1)

= 3

(

13)

(

15) = −99,

= 6

(

13)

(

15) = −3.

∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99J和－3J. ＝

9×(2)

合力F=F1＋F2 =(9，－1)，W＝F·(－13)＋(－1)×(－15)＝－102. ∴合力F对质点所做的功为－102 J.

变式：

一个物体受到同一平面内三个力

、

、

的作用，

沿北偏东45°方向移动了8m，已知

=2N，方向为北偏东30，

=4N，方向为东偏北30,

=6N，方向为北偏西30，

求这三个力的合力所做的功. 分析：用几何法求三个力的合力不方便，建立直角坐标系，先写出三个力的坐标，再求合力的坐标，

以及位移的坐标，利用数量积的坐标运算. 解：建立如图所示的直角坐标系，

23，2432位移),s(42,42),则F1(1，3),F2(23，2),F3(3，33).FF1F2F3(

Fs(232)42(432)42246(J).故这三个力的合力做的功是246(J).

三、课堂小结：

1.利用向量解决物理问题的基本步骤：

①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；

②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；

③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；

④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 2.用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.

一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值.

四、达标检测

1、一个质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，

已知F1，F2成60°角且|F1|＝2，|F2|＝4，则|F3|＝(

) A．6

B．2

C．23

D．27

【解析】因为物体处于平衡状态，所以

＋

＋

＝0，所以

＝－(

＋

)，

所以

|

＝

＝



＝2

.

|＝|

＋

|＝

→→2．若向量OF1＝(1，1)，OF2＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(

) A．10

B．25

C．5

D．15 3

【解析】由于F1＋F2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)， 所以|F1＋F2|＝（－2）2＋（－1）2＝5

．

3. 河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向8 m/s的

速度驶向对岸，

则小船的速度大小为(

) A. 10 m/s

B. 6 m/s

C. 2

m/s

D. 2

m/s

【解析】如图，选D

4. 如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，

绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1. (1)求|F1|，|F2|随θ角的变化而变化的情况；

(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围．

解: (1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，

B

v1

v

A

v2

C

|G|得－G＝F1＋F2，|F1|＝，|F2|＝|G|tan θ，

所以当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．

cos θ(2)由|F1|＝|G|1，|F1|≤2|G|，得cos θ≥.

又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°. cos θ2

5. 已知F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2，3)，求F对物体所做的功．

→→解：AB＝(－4,3)，W＝F·s＝F·AB＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1 (J)．

∴力F对物体所做的功为1 J.

五、课后作业：

1.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，

则每根绳子的拉力大小为

N.[来源学科网Z.X.X.K]

2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，

则力F所做的功W＝________ J. s＝|F||s|cos〈F，s〉＝6×100×cos 60°【解析】W＝F·＝300(J)．

3．一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，

则船到达B处所需时间为________ min.

4．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西4

30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以23 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．

解

如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.

易求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h. 设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为23 km/h. 船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，

由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是3 km/h.

[来源:Zxxk.Com]5