3.3.2 均匀随机数的产生ppt课件配套教案内容

《均匀随机数的产生》

◆

教学目标

1、知识与技能:

（1）掌握几何概型的概率公式：

P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）；

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）（2）了解均匀随机数的概念；

（3）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；

（4）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题。

2、过程与方法:

(1)通过对现实生活中具体的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力；

(2)通过模拟试验,感知应用数学解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、情感态度与价值观:

通过模拟方法的设计体验数学的重要性和信息技术在数学中的应用;通过动手模拟,动脑思考,体会做数学的乐趣；通过合作试验,培养合作与交流的团队精神。

◆

教学重难点

◆

【教学重点】

掌握［0,1］上均匀随机数的产生及［a,b］上均匀随机数的产生.学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率。

【教学难点】

利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中。

◆

教学过程

（一）新课导入 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报

纸”称为事件A，则事件A的概率是多少？

计算该事件的概率有两种方法：

1、利用几何概型的公式：找到试验的全部结果构成的区域及父亲离开家前能拿到报纸的区域；

2、用随机模拟的方法。

那么如何应用这两种方法来求解呢？

（二）新课讲授

试用计算器来产生一个0～1之间的均匀随机数。

解析：实验结果是[0,1]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数，而且出现任何一个实数都是等可能的，因此，就可以用上面的方法产生的0—1之间的均匀随机数进行随机模拟。

思考1：计算机只能产生[0,1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何一个值，则需要产生[a，b]上的均匀随机数，对此，你有什么办法解决？

答：首先利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数X＝RAND，然后利用伸缩和平移变换：Y＝X*(b—a)＋a计算Y的值，则Y为[a，b]上的均匀随机数。

思考2：利用计算机产生100个[2,6]上的均匀随机数，具体如何操作？

答：(1)在A1～A100产生100个0～1之间的均匀随机数；

(2)选定B1格，键入“＝A1”。

（三）例题探究

例1 取一根长度为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？

解：设剪得两段的长都不小于2 m为事件A。

(1)利用计算器或计算机产生n个0～1之间的均匀随机数，x＝RAND。

(2)作伸缩变换：y＝x*(5－0)，转化为[0,5]上的均匀随机数。

(3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m.。

(4)则概率P(A)的近似值为。

反思与感悟：通过模拟试验求某事件发生的概率，不同于古典概型和几何概型试验求概率，前者只能得到概率的近似值，后者求得的是准确值。

mn

跟踪训练1 如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，用计算机随机模拟这个试验，求飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率。

解：用计算机随机模拟这个试验，步骤如下：

(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND。

(2)经过伸缩平移变换，a＝(a1－0.5)*4，b＝(b1－0.5)*4得到两组[－2,2]上的均匀随机数。

(3)统计出试验总次数N，落在阴影部分的次数N1。

(4)计算频率fn(A)＝就是飞镖落在小正方形内的概率的近似值。

例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，则事件A的概率是多少？

思考1：设X、Y为[0,1]上的均匀随机数，6.5＋X表示送报人到达你家的时间，7＋Y表示父亲离开家的时间，若事件A发生，则X、Y应满足什么关系？

答： 7＋Y >6.5＋X，即Y>X－0.5。

思考2：设送报人到达你家的时间为x，父亲离开家的时间为y，若事件A发生，则x、N1Ny应满足什么关系？不等式組表示的平面區域如何？

6.5≤x≤7.5，答：7≤y≤8，y≥x.

思考3：根据几何概型的概率计算公式，事件A发生的概率为多少？

答：试验的全部结果所构成的区域的面积为边长为1的正方形，面积为1；图中的阴影7871117部分面积为1－××＝，所以P(A)＝＝。

222818思考4：你能设计一种随机模拟的方法近似计算上面事件A发生的概率吗？

答：方法一：(随机模拟的方法)做两个只带有分针的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离家前能得到报纸的次数，则P(A)＝父亲在离家前能得到报纸的次数。

试验的总次数

方法二：用计算机产生随机数模拟试验。X是0～1之间的均匀随机数，Y也是0～1之间的均匀随机数。如果Y＋7>X＋6.5，即Y>X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸。在计算机上做M次试验，查一下Y>X－0.5的Y的个数，如果为N，则所求概率为N/M。

反思与感悟：用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大。

随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识。

跟踪训练2 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人半小时，过时即可离去。求甲、乙能见面的概率。

解析：如图所示，用x，y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x－y|≤30。在平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A“两人能够会面”的可能结果仅是阴影部分所示的区域。由几何概型的概602－3023率公式，得P(A)＝＝。

6024

跟踪训练3 右图的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值。

解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即圆的面积︰正方形的面积≈落在圆中的豆子数︰落在正方形中的豆子数。

落在圆中的豆子数设正方形的边长为2，则圆半径为1，所以π≈×4。由于落在落在正方形中的豆子数每个区域的豆子数是可以数出来的，所以就得到了π的近似值。

例3 利用随机模拟方法计算由y＝1和y＝x所围成的图形的面积。

2

解：以直线x＝1，x＝－1，y＝0，y＝1为边界作矩形，

(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；

(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)；

(3)数出落在阴影内的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积。

例如做1 000次试验，即N＝1 000，模拟得到N1＝698，

阴影面积698所以P＝＝，

矩形面积1 000即阴影面积S＝矩形面积×698698＝2×＝1.396。

1 0001 000

反思与感悟

解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值，解决此类问题时注意两点：一是选取合适的对应图形，二是由几何概型正确计算概率。

跟踪训练4 利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y＝2－2x－x与x轴围成的图形)的面积。

解：(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND。

(2)经过平移和伸缩变换a＝a1]N1,N)就是点落在阴影部分的概率的近似值。

(5)设阴影部分面积为S，由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为。

12∴≈. 12N12N1∴S≈即为阴影部分面积的近似值。

2SSN1N

（四）课堂检测

b21.利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a和b，则方程x＝－2a－有实根的概率为x(

) 1211A.

B. C. D. 6323

b222解析：

由题意知本题是一个几何概型，x＝－2a－，化为x＋2ax＋b＝0，方程有实x22根，Δ≥0，即4a－4b≥0，所以b≤a。

在aOb坐标系中画出图形，如图。

S阴影1所以方程有实根的概率为P＝＝。

S正方形2

2．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则(

) A．m>n

B．m

D．m是n的近似值

C．m＝n

答案：D 解析：随机摸拟法求其概率，只是对概率的估计。

2213．在区间[－1,1]上随机任取两个数x，y，则满足x＋y<的概率为________。

4π答案：

16解析：当x，y∈[－1,1]时，点(x，y)构成的区域是一个边长为2的正方形，其面积等1221于2×2＝4，而满足x＋y<的点(x，y)构成的区域是一个半径为的圆的内部，其面积42π4ππ等于，所以所求概率P＝＝。

44164．某汽车站每隔10分钟有一班汽车通过，求乘客候车时间不超过4分钟的概率，并尝试用计算机模拟该实验。

解：因为乘客到达车站的时间是随机的，设乘客候车时间不超过4分钟为事件A。

区间由题意，可得P(A)＝区间随机模拟试验的步骤：

(1)利用计算机产生[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND。

(2)经过伸缩变换：a＝10]N1,N)，即为所求概率的近似值。

（五）课堂总结

1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例；

2、均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的，，的长度2＝。

的长度5

量（如概率值、常数 ）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量。

◆

教学反思

略。