复习参考题优质课教案

第二章

平面向量(一) (平面向量的实际背景及基本概念

平面向量的线性运算

平面向量的基本定理及坐标表示) [名师原创·基础卷] (时间：120分钟

满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题

共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设a是非零向量，实数λ≠0，则下列结论正确的是(

) A．|a|<|－λa|

C．(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)

B．|λ|a＝|－λa| D．a与－λa方向相反

→相等，2．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB已知A(1,2)和B(3,2)，则x的值为(

) A．－1

B．－1或4

C．4

D．1或－4 →，BO→，CO→是(

) 3．设O为△ABC的外心，则AOA．相等向量

B．平行向量

C．模相等的向量

D．起点相同的向量

4．下列计算正确的有(

) ①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋(2a＋3b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

5．下列命题中，正确的是(

) A．|a|＝|b|⇔a＝b

C．a＝b⇔a∥b

B．|a|>|b|⇔a>b

D．|a|＝0⇔a＝0

→＝λP→→，其中λ6．已知P是△ABC所在平面内一点，若CBA＋PB

∈R，则P一定在(

) A．△ABC的内部

C．AB边所在的直线上

B．AC边所在的直线上

D．BC边所在的直线上

→＝2PC→，点Q是AC的中7．在△ABC中，点P在BC上，且BP→→＝(1,5)，则BC→＝(

) 点，若PA＝(4,3)，PQA．(－2,7)

B．(－6,21)

C．(2，－7)

D．(6，－21) →＝a＋b，BC→＝－3a－b，CD→＝－7a8．在四边形ABCD中，AB－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为(

) A．梯形

C．菱形

B．平行四边形

D．矩形

→同方向的单位向量为9．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB(

) 43A.5，－5

34C.－5，5

34B.5，－5

43D.－5，5

→

＝a，10．已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别是M，N，设AM→＝b，用a，b表示AB→，BC→正确的是(

) AN4242A.a－b，b－a

33334242C.a－b，b＋a

33334242B.a＋b，b－a

33334242D.a＋b，b＋a

333311．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重→＝xAB→＋(1－x)·→，则实数x的取值范围是(

) 合，若AOACA．(－∞，0)

B．(0，＋∞)

C．(－1,0)

D．(0,1) →＋OB→＋OC→＋OD→＝0，12．已知O是四边形ABCD内一点，若OA

则下列结论中正确的是(

) A．四边形ABCD为正方形，点O是正方形ABCD的中点

B．点O是四边形ABCD的对角线交点

C．点O是四边形ABCD的外接圆的圆心

D．点O是四边形ABCD对边中点连线的交点

第Ⅱ卷(非选择题

共90分) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(1,2)，用向量a，b表示向量c，则c＝________. 14．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝________. →＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M15．在平行四边形ABCD中，若AB→＝________(用a，b表示)．

为BC的中点，则MN→＝3e，OB→＝3e，且P是线段AB靠近点A的一个三等16．若OA12→用e，e可表示为OP→＝________. 分点，则向量OP12三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) 如图，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，→＝a，AD→＝b，试用a，b分别表示N分别是DC，AB的中点，已知AB→，MN→. BC

18．(本小题满分12分) 已知向量a＝(2,0)，b＝(1,4)．

(1)求2a＋3b，a－2b；

(2)若向量ka＋b与a＋2b平行，求k的值．

19．(本小题满分12分) →＝1AB→，DE∥BC，且DE与边AC交于点E，在△ABC中，AD3

→＝a，AC→＝b，用a，b分别表示与△ABC的中线AM交于点N.设AB→，CB→，DE→，CE→，DN→，NA→. 向量AE

20．(本小题满分12分) →|如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且|AB1→→→→→→＋BC→|与＝|AD|＝1，OA＋OC＝OB＋OD＝0，cos ∠DAB＝2，求|DC→＋BC→|. |CD

21．(本小题满分12分) 已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面

→与OB→不共线．

内的一点，且OA→＝2PB→，→＝rOB→＋sOA→，(1)在△OAB中，点P在AB上，且AP若AP求r＋s的值；

→＝mOA→＋OB→(m为常数)，若四边形OABP(2)如图，点P满足OP为平行四边形，求m的值．

22．(本小题满分12分) 已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE→＝13AC→，BF→＝13BC→. (1)求E，F的坐标；

(2)判断EF→与AB→是否共线？

详解答案

第二章

平面向量(一)

(平面向量的实际背景及基本概念

平面向量的线性运算

平面向量的基本定理及坐标表示) [名师原创·基础卷] 11．C

解析：本题考查数乘向量及向量的模的运算．当λ＝2时，|a|>|－λa|，排除A；对于B，该等式左边为数乘向量，右边为数，显然不等，排除B；当λ<0时，a与－λa的方向相同，排除D；由数乘向量的运算律可得选项C正确．故选C. x＋3＝2，→2．A

解析：AB＝(2,0)，∴2

x－3x－4＝0，

∴x＝－1.故选A. 3．C

解析：本题主要考查平面向量的基本概念．∵O为△ABC→|＝|BO→|＝|CO→|.故选C. 的外心，∴OA＝OB＝OC，即|AO4．C

解析：本题主要考查向量的加减运算与数乘运算，容易得到①③是正确的，②是错误的，故选C. 5．D

解析：本题主要考查向量的定义、相等向量、平行向量以及零向量等基本概念．由于向量是由两个基本要素(大小、方向)构成的，任何缺少一个要素的判断都是错误的，故A，B，C三个选项都是错误的，又根据零向量的定义，可知D选项是正确的，故选D. 6．B

解析：本题主要考查向量的减法运算以及共线向量．根→＝λP→→⇔CB→－PB→＝λP→→＝λP→据题意，CBA＋PBA⇔CPA，∴点P在AC边所在的直线上，故选B. →→＝(1,5)，

7．B

解析：∵PA＝(4,3)，PQ→＝PQ→－P→∴AQA＝(－3,2)．

∵点Q是AC的中点，

→＝2AQ→＝(－6,4)．

∴AC→＝P→→＝(－2,7)，又BP→＝2PC→，∴BC→＝3PC→＝(－6,21)．∴PCA＋AC

8．A

解析：本题考查向量共线的条件和梯形的定义．由已知→＝AB→＋BC→＋CD→＝－9a－3b，故AD→＝3BC→，由向量共线的判定得AD→∥BC→，即AD∥BC，又|AD→|＝3|BC→|，故四边形ABCD为梯定理知AD形，故选A. →AB→＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e＝9．A

解析：AB＝→|AB|431，－5.故选A. 5(3，－4)＝510．A

解析：本题主要考查向量的几何表示以及向量线性运算→＝的几何意义．在▱ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，∴DN1→→1→→＝AD→＋DN→＝BC→＋1AB→，AM→＝AB→＋1BC→，∴AB，BM＝BC.∴AN2222→＋1AB→＝b，BC21→→AB＋2BC＝a，

4242→→解得AB＝3a－b，BC＝3b－a.故选A. 3311．A

解析：本题主要考查平面向量的线性运算．

→＝xAB→＋(1－x)AC→可化为CO→＝xCB→，AO因为点O在线段BC的延长线上，所以x∈(－∞，0)，故选A. 12．D

解析：本题主要考查向量的几何表示，向量加减法的几→＋OB→＋OC→＋OD→＝0知，OA→＋OB→＝－(OC→＋OD→)．

何意义．由OA设AB，CD的中点分别E，F，由向量加法的平行四边形法则，

1→1→→＋OF→＝0，知2OE＝－2OF，即OEO是EF的中点，同理，设AD，BC的中点分别为M，N，则O是MN的中点，所以O是EF，MN的交点，故选D. 3113.a－b

解析：本题主要考查平面向量的坐标表示的应用等221＝x＋y，基础知识．设c＝λa＋yb，则2＝x－y，

3x＝2，解得1y＝－2，

31所以c＝2a－b.

214．－2

解析：∵e1，e2不共线，∴向量a，b不为0. 又∵a，b共线，∴存在实数λ，使a＝λb，

即2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2. λk＝2，k＝－2，∴∴

λ＝－1，λ＝－1.

1115．－4a＋b

解析：本题主要考查向量线性运算的几何意义．在4如图所示的平行四边形ABCD中，连接BD，N是对角线AC的四等1→＝1BD→分点，M是BC的中点，因此MN∥DB，且MN＝4DB，所以MN41→→11＝4(AD－AB)＝－4a＋b.

4

16．2e1＋e2

解析：本题主要考查向量的加减法以及共线的条件．

∵P是线段AB靠近点A的一个三等分点，

→＝2AP→，→－OP→＝2(OP→－OA→)，→＝2(OP→－3e)，∴PB∴OB即3e2－OP1→＝2e＋e. ∴OP1217．解：连接CN，∵N是AB的中点，AB＝2CD，AB∥DC，

∴AN∥DC，且AN＝DC，

→＝－AD→＝－b，

∴四边形ANCD是平行四边形，∴CN→＋NB→＋BC→＝0，

又CN→＝－NB→－CN→＝－1a＋b，

∴BC21→→→MN＝MC＋CN＝4a－b. 18．解：(1)∵a＝(2,0)，b＝(1,4)，

∴2a＋3b＝2×(2,0)＋3×(1,4)＝(4,0)＋(3,12)＝(7,12)，

a－2b＝(2,0)－2×(1,4)＝(2,0)－(2,8)＝(0，－8)．

(2)依题意得ka＋b＝(2k,0)＋(1,4)＝(2k＋1,4)，

a＋2b＝(2,0)＋(2,8)＝(4,8)，

∵向量ka＋b与a＋2b平行，

∴8(2k＋1)－4×4＝0. 1解得k＝2. 19．解：由图示可知，

1→→∵DE∥BC，AD＝3AB，

1→1→∴AE＝3AC＝3b. →＝AB→－AC→＝a－b. CB1→11→DE＝3BC＝3b－a.

32→2→CE＝－3AC＝－3b.

∵AM为△ABC的中线，

1→11111→∴DN＝2DE＝23b－3a＝b－a. 6611111→→→→NA＝－AN＝－(AD＋DN)＝－3a＋6b－6a＝－a－b. 66→＋OC→＝OB→＋OD→＝0，

20．解：∵OA→＝CO→，OB→＝DO→，

∴OA∴四边形ABCD为平行四边形．

→|＝|AD→|＝1，

又|AB∴▱ABCD为菱形．

1∵cos ∠DAB＝2，∠DAB∈(0，π)，

π∴∠DAB＝3，

∴△ABD为正三角形．

→＋BC→|＝|AB→＋BC→|＝|AC→|＝2|AO→|＝3，

∴|DC→＋BC→|＝|BD→|＝|AB→|＝1. |CD2→→→→21．解：(1)∵AP＝2PB，∴AP＝3AB，

2→→2→2→→∴AP＝3(OB－OA)＝3OB－3OA，

→＝rOB→＋sOA→，

又∵AP22∴r＝3，s＝－3，

∴r＋s＝0. (2)∵四边形OABP为平行四边形，

→＝OP→＋OA→，

∴OB→＝mOA→＋OB→，

又∵OP→＝OB→＋(m＋1)OA→，

∴OB→，OB→是非零向量且不共线，

依题意OA∴m＋1＝0，

解得m＝－1. 22．解：(1)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，

→＝(2,2)，BC→＝(－2,3)．

依题意，得AC→＝1AC→，可知(x＋1，y)＝1(2,2)，

由AE11332x1＋1＝3，即2y1＝3，12∴E－3，3. 

1x1＝－3，解得2y1＝3.

1→1→由BF＝3BC，可知(x2－3，y2＋1)＝3(－2,3)．

x2－3＝－2，3∴y2＋1＝1，

x2＝7，3解得y2＝0.

7∴F3，0，

127∴E点的坐标为－3，3，F点的坐标为3，0. 27128→→→，0－，，－(2)由(1)可知EF＝OF－OE＝3－33＝33(O为坐标原点)，又AB→＝(4，－1)，

∴EF→＝223(4，－1)＝3AB→，即

EF→与AB→共线．