2.1.2 向量的几何表示课件配套优秀获奖教案

《2.1平面向量的实际背景及基本概念（1）》

一、讲什么

1．教学内容

（1）概念原理：平面向量的概念、平面向量的表示方法、特殊向量、向量的关系。

（2）思想方法：数形结合，类比、归纳。

（3）能力素养：几何直观、数学抽象。

2．内容解析：

本课是《平面向量》这一章的起始课，具有核心地位、统领全局的作用。

在此之前，学生已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）。另外，学生在物理学科中已经积累了很多向量模型，并且在三角函数的学习过程中接触到有向线段的概念，为本节课的学习提供了知识准备。

本节将学***面向量的概念、表示及关系。现实生活中的位移、力、速度是其物理背景，向量的概念就是从这些实际背景抽象而成；通常借用有向线段形象直观的表示向量及其运算。

二、为何讲

1．教学目标：

（1）了解向量的实际背景，经历平面向量及其概念的形成过程，培养学生抽象问题的能力；

（2）掌握向量的几何表示，理解平面向量、相等向量和共线向量的概念，体会数学研究的一般过程。

2．目标解析：

（1）要让学生体会到向量这个概念来自于其它学科，然后又反过来对其他学科起作用，感觉数学工具的价值。

（2）让学生从数形两方面理解向量这个概念的本质，帮助学生从两个要素全面考虑，防止顾此失彼。

（3）让学生理解到一堂概念课，更为重要的不是向量的形式化定义和相关概念，而是能让学生去体会认识和研究数学新对象的方法和基本思路，而且提高抽象问题的能力。

教学重点：本节的重点是向量概念的形成过程。

三、怎样讲

（一）教学准备

1．教学问题：

（1）学习过程中，学生对脱离背景之后理解向量的概念，一时难以适应；

（2）向量的几何表示与平面向量是学生学生的易混点。

2．教学支持条件：方格纸，科大讯飞问答系统。

（二）教学过程设计

【问题1】老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜，

A

B

如果猫由B向正东方向以每秒10米速度追赶，那么猫能否

抓到老鼠？为什么？

【设计意图】创设情境，建构概念。通过学生熟悉的问题情境引发学生思考。只有大小，没有方向的量，并不能确定具体的位置，从而指出速度是一个既有大小、又有方向的量，凸显向量的两大要素，同时引出向量的概念。

【预设师生活动】

（1）学生：猫的速度虽然比老鼠的速度大，但方向不对，所以无法抓到老鼠。

（2）老师：你能否再举出一些既有大小、又有方向的量？

（3）学生：重力、浮力、弹力、位移……

（4）老师：生活中有没有只有大小、没有方向的量？

（5）学生：年龄、身高、面积、体积等。

（6）老师：回顾学习数的概念，我们从一本书、一支笔、一棵树……中抽象出只有大小的数量“1”。类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小、又有方向的量进行抽象，形成一种新的量。

板书设计：数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。

老师：把那些只有大小、没有方向的量称为数量．向量在物理学中常称为矢量，数量在物理学中常称为标量。

【问题2】实数在数轴上是如何表示的？向量又如何表示？

【设计意图】类比实数的点的表示方法，寻求向量的几何表示。设计“两个不同重量的小木块的浮力如何表示”的问题，让学生从对比中体会到可以用有向线段的方向和大小分别表示向量的方向和大小。将绝对值符号表示方法类比到向量的模的字母表示上。通过0，1这两个特殊实数类比出零向量和单位向量的概念。

【预设师生活动】

（1）学生：可以用数轴上的点表示。

（2）老师：实数可以用数轴上的点来表示，并且建立了一一对应的关系。请同学们在数轴上画出表示实数0，1的点，再画出表示实数a的点。

（3）学生在稿纸上画出数轴，并标注点的位置，如图1所示。

图1

（4）老师：实数a是一个数量，数轴上表示它的点A是一个几何图形，这里就是用几何图形表示了实数a，数量可以如此，那么向量呢？我们能不能也找到一种几何图形来表示平面向量呢？

如图2，有两个木块浮在水面上，一个木块所

受到的重力的大小是10N，另一个木块所受到的重力的

大小为20 N。试在练习纸中画出两个物体所受到的浮

力，练习纸中已经给出了表示10 N的线段长度。

（5）学生：作图，并表示浮力，如图2所示。

（6）老师：表示这两个木块所受浮力大小的线段，

图2 哪个更长？方向又是如何表示的呢？

（7）学生：表示浮力大小为20 N的线段更长．用箭头表示的。

（9）板书设计：画一条线段，标注线段AB，也可记作线段a．以A为起点，B为终点画一个箭头。

老师：一般地，可以按一定比例画出一条线段，它的长短表示向量的大小。用箭头表示向量的方向，这个图形就是一条线段上带了一个箭头。有线段有箭头，如果给这个图形起一个形象点的名字，你会叫它什么呢？

（10）学生：有向线段。

（11）老师：带有方向的线段叫做有向线段。以A为起点、B为终点的有向线段记作AB，或者用a，b，…表示。这样就用有向线段的长度表示向量的长度，用有向线段的方向表示向量的方向，就可以用有向线段表示向量了。

强调：书上的向量用的是印刷体的黑体字母a表示向量，没有箭头．但是我们书写的字

母不是印刷体，在表示向量时，必须打上箭头。

老师提问：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？有向线段与向量的区别和联系？如何理解刚才学习的几个概念？

（12）学生：有向线段是几何图形，向量是有别于标量的量。有向线段有三要素，即起点、长度和方向，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。向量只有大小和方向两个要素，与起点无关。

（13）老师：向量的大小又该如何用字母来表示呢？如图1，在数轴上点A表示实数a，那点A到原点的距离该如何表示呢？

（14）学生：|a|．

（15）老师：类似地，在AB两边画两条平行、等长的竖线段，来表示向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作|AB|．

现在我们已经建立起了一个向量的集合，就像实数可以构成实数集一样。在你画的实数轴上，哪些实数比较特殊？如图1，在实数轴上有两个特殊的实数，请问是哪两个？

（16）学生：0，1．

（17）老师：类似地，在向量的集合中有两个向量很特殊，一个是长度为0的向量，叫做零向量，一个是长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。

零向量与单位向量有方向吗？

（18）学生：根据向量的定义，任何一个向量都有方向。

（19）老师：规定零向量的方向是任意的，单位向量只有一个方向。

【问题3】向量有哪些关系？

【设计意图】巩固单位向量的概念。该探究将平行向量、相等向量和共线向量的概念的形成过程串在了一起，并让学生参与这些概念的形成过程，使得概念成为在教师引导下，学生观察、归纳、概括之后的自然产物。

（1）老师提问：在坐标纸中画出如图3所示的向量。

（1）图中哪些向量是单位向量？

（2）AB，CD，EF三个向量的方向有何关系？

（3）AB，CD在大小和方向上有何关系？

图3 图3 （2）学生1：单位向量有AB，CD，MN，GH．

学生2：AB与CD方向相同，AB与EF方向相反，CD与EF方向相反．

（3）老师：一般地，方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量，记作AB∥CD．

规定，零向量与任一向量平行，即对于任意的向量a，都有0∥a．

（4）老师：AB，CD在大小和方向上有何关系？

（5）学生：长度相等，方向相同。

（6）老师：也就是AB和CD在向量的两个基本要素上完全相同，数学上将长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作AB=CD．

（7）老师：如图4，OK与AB之间什么关系？

那OK与CD之间什么关系？

（8）学生：都是相等的。

（9）老师：既然相等，那就意味着可以用同一条

图4 有向线段OK来表示两个相等的非零向量AB和CD，并且与有向线段的起点无关。换句话说，就是可以将两个相等的非零向量AB和CD在平面内都平移到向量OK的位置，平移后的向量与原来的向量相等。类似地，也可以作向OP与向量EF相等。此时，我们将一组平行向量AB，CD，EF都平移到了同一条直线上。因此，平行向量也叫做共线向量。

（10）老师提问：判断下面的说法是否正确。

（1）向量的模的取值范围是(0，+∞)．

（2）若a与b都是单位向量，则|a|=|b|．

（3）若a∥b，则a与b的方向相同。

（4）物理中的作用力与反作用力是一对相等向量。

（5）若|AB|≠0，则AB=BA．

（11）解法点评：该题紧扣向量的相关概念，同时关注零向量。

（12）【例1】如图5，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写

出图5中与OA，OB，OC相等的向量。

（13）解法点评：抓住相等向量的两大要素，即长度相等和方向相同。

图5

（14）老师提问：如图6，设O是正六边形ABCDEF的中心，试在图

中作出与OA共线的向量。

（15）解法点评：在图中先找与之平行的线段，再找与之共线的线段；

从对比与向量OA相等和共线的向量的结果看，可以得出怎样的结论？

(相等必共线，共线未必相等。) 【问题4】你能够回答一下本节课我们都学习了哪些新的概念？

【设计意图】课堂小结。由学生总结、概括本节课所学习的主要内容，教师进行提炼，并总结学习新概念的基本思路。

【预设师生活动】

（1）学生总结后得到图7，图8．

图6

图7

图8 （2）老师：小结完成了，同学们是否有什么疑惑的地方？有的话，可以提出来。

研究向量需要将代数形式和几何形式相结合．对实数的研究经验告诉我们，引进一个新的数，就要研究它的运算及运算律。可以预见，引进向量就要研究向量的运算及其相应的运算律或运算法则．所以对于向量，还有很多内容等待我们去研究。

四、讲怎样

1.课中检测

通过1个例题及1个练习检测学生理解情况，注意及时收集学生反馈。

2.课后检测

请完成课后练习，检测学习效果。