探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教案3

1.3三角函数的图象和性质

1.3.1三角函数的周期性

[教学目标] 一、知识与技能

了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。

二、过程与方法

从自然界中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念，再运用数学方法研究三角函数的性质，最后运用三角函数的性质去解决问题。

三、情感、态度与价值观

培养数学来源与生活的思维方式，体会从感性到理性的思维过程，理解未知转化为已知的数学方法。

[教学重点] 周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。

[教学难点] 周期函数的概念

[设计思路] 创设情境，从自然界中的周期现象出发，通过对P点的圆周运动这一模型的分析，引入周期函数的概念。

在研究P点的圆周运动时，给出了y=f(t)的图象；并在研究了三角函数的周期后，给出了y=sinx的图象，让学生从图象上对函数的周期加深理解，让学生体会数形结合的思想。

在讲解例2时，充分利用解方程的思想，让学生更易理解。

[教学过程] 一、创设情境

每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是从星期一到星期日，地球每天都绕着太阳自转，公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返……，这一些都给我们循环、重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，这就叫周期现象。

二、学生活动

（P点的圆周运动）如图，点P自点A起，绕圆周按逆时针方向进行匀速运动。点P的运动轨迹是：

A-B-C-D-A-B-C-D- A-B-C-D-A-B ……

显然点P的运动是周期运动。

设圆的半径为2，每4分钟运动一周。设P到A的距离为y，运动时间为t，则y是t的函数，记为

y=f(t).

则f(0)=f(4)=f(8)=f(12)=

……=0，（位置在A点）

f(2)=f(6)=f(10)=f(14)=

……=4，（位置在C点）

一般地，点P运行t分钟到达的位置与运行(t+4)分钟到达的位置相同，由此能得到这样

的数学表达式：f(t+4)=f(t) 想一想：f(t+8)、f(t+12)与f(t)有什么关系？说明它们的实际意义。

[f(t+8)=f(t)、f(t+12)=f(t)，运行时间不等，但最终位置相同] 可以用描点法画出这个函数的图象（如图）

它的特征是：在区间(0,4)(4,8)(8,12) …内重复。

我们将上面的函数y=f(t)称为周期函数。

三、建构数学

一般地，对于函数f（x），对定义域内的每一个x的值，每增加或减少一个不为零的定值T，函数值就重复出现，这个函数就叫做周期函数，即f(x+T)= f(x)。

（一）、周期函数及周期的定义

周期函数定义如下：一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)= f(x)，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

前面函数y=f(t)的周期可以认为是4、8、12、……

（二）、最小正周期的概念. 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期. 注意

今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期. 显然上面的函数y=f(t)的周期T=4. (三)、三角函数的周期

思考：正弦函数y=sinx是周期函数吗？即能否找到非零常数T，使sin(T+x)= sinx成立？

[sin(2π+x)=sinx，sin(4π+x)=sinx，根据周期函数定义判断它是周期函数，又根据周期的规定，它的周期T=2π（最小正值）] 用几何画板展示周期函数y=sinx的图象，使学生感知其特征。

讨论：余弦函数y=cosx和正切函数y=tanx也是周期函数，并找出它们的周期。

[周期分别是2π、π] 四、数学运用

例1若钟摆的高度h（mm）与时间t(s)之间的函数关系如图所示。

（1）

求该函数的周期；

（2）

求t=10s时钟摆的高度。

分析：周期可由两顶点间距离确定，此函数周期T=1.5；

根据函数的周期性，f(10)=f(10－1.5)=f(10－2·1.5)=

……=f(10－1.5k)(其中k为整数)，直到10－1.5k=1或2.5为止，即f(10)=f(1)=20. 解：(略)

例2

求函数f(x)=cos3x的周期。

解：设周期为T.

f(x)=cos3x=cos(3x+2π)，f(x+T)=cos3(x+T) 由f(x)= f(x+T)得，3x+2π=3(x+T)，解得T=2π/3.

∴函数f(x)=cos3x的周期2π/3. 注意：①运用了换元方法，u=3x；②f(u)=cosu的(最小正)周期是2π；即cosu=cos(u+2π)；③由于cos(3x+2π) =cos3(x+T)对任一x的值都成立，所以3x+2π=3(x+T)；④f(x)= cos3x的周期与f(u)=cosu的周期是两个不同的概念。

例3．求下列函数的最小正周期T. （1）f(x)3sinx

（2）f(x)sin2x

（3）f(x)2sin(1x)

24解：（1）f(x)3sinx3sin(x2)f(x2)T2

（2）f(x)sin2xsin(2x2)sin2(x)f(x)

∴

函数的最小正周期为π.

（3）f(x)2sin(1x)2sin(1x2)2sin[1(x4)]f(x4)

242424

∴

函数的最小正周期为4π. 总结一般规律：yAsin(x),yAcos(x)的最小正周期是2||. 令

zx，由yAsinz,zR的周期是2，

则

z2x2x因而自变量x只要并且至少要增加到x2

22，即T。

例4．求证：（1）ycos2xsin2x的周期为π；

（2）y|sinx||cosx|的周期为2.

证明：（1）f(x)cos2(x)sin2(x)cos(22x)sin(22x)

cos2xsin2xf(x)ycos2xsin2x的周期是

（2）f(x)|sin(x)||cos(x)|cosx||sinx||sinx||cosx|f(x)

222

∴y|sinx||cosx|的周期是总结：（1）一般函数周期的定义

2.

（2）yAsin(x),yAcos(x)周期求法

尝试练习

(1)求g(x)=2sin(1x)的周期。

26(2)证明函数f(x)Asin(x)（其中A,,为常数，且A0,0）的周期T2. 结论:一般的，周期函数y=Asin(ωx+ )及y=Acos(ωx+ )(其中A，ω，为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T= 2

. 学生练习：

课本P27页

练习1、2、3、4 五、回顾反思

通过这节课的学习，你有哪些收获？

1.周期函数、周期概念。

一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x),那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

2.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数,且周期均为2π.

3.函数y=tanx是周期函数,且周期均为π. 4. 周期函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期的求法。

六、课外作业：

1、举例说明周期现象。. 2.、课本P45页

习题1.3

第1题

3、设m、p、q为自然数，m除以5所得的商是p且余数是q(q<5). 显然q是m的函数，记q=f(m).

(1)写出这函数的值域；(2)这函数是周期函数吗？若是，则写出周期；若不是，则说明理由。

七、设计说明：

1、由可感受、能理解的实例出发，感性的认识周期函数的概念。

比如创设情境，从自然界中的周期现象出发，建立P点的圆周运动这一模型

。本节课的难点在于周期函数概念的理解，因此在讲解概念之前，通过现实情境帮助理解周期运动，在此基础上理解周期函数的概念就不太困难了。

2、通过对P点的圆周运动这一模型的分析，引入周期函数的概念，体现了数学由具体到抽象、由特殊到一般的过程。

3、新课程的一个重要理念就是“用教材教，而不是教教材”。在处理例2的过程中，由于课本的解法学生不太易理解，所以，我利用解方程的思想，根据周期函数的概念列出方程，解出周期T,从而降低了难度。

4、在教学过程中，我设计一些思考与练习，变由老师讲解为学生思考、探究，发展了学生的思维能力。