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新课标A版·数学·必修三

2.1.1 第二章 统计（复习参考题）

重庆市渝西中学

应维进

授课时间：第 周 年 月 日（星期 ）

【三维目标】

1．能从现实生活或其他学科中推出具有一定价值的统计问题，提高学生分析问题的能力. 2．理解随机抽样的必要性和重要性，提高学生学习数学的兴趣，理解系统抽样，会用系统抽样从总体中抽取样本，了解系统抽样在实际生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣. 理解分层抽样的概念，掌握其实施步骤，培养学生发现问题和解决问题的能力；

3．学会用抽签法和随机数法抽取样本，培养学生的应用能力．进一步了解虚假广告是淡化总体和抽样方法、强化统计结果来夸大产品的有效性，以提高学生理论联系实际的能力．

4．掌握分层抽样与简单随机抽样和系统抽样的区别与联系，提高学生的总结和归纳能力，让学生领会到客观世界的普遍联系性．

【重点难点】

教学重点：掌握分层抽样与简单随机抽样和系统抽样的区别与联系．

教学难点：根据实际情况选择正确的抽样方法．

教学过程

【回顾旧知】

1．简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中

抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都

，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

(2)最常用的简单随机抽样的方法：

．

2．系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．

(1)先将总体的N个个体

．

(2)确定

，对编号进行

，当Nn是整数时，取k＝Nn. (3)在第1段用

确定第一个个体编号l(l≤k)．

(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号

，再加k得到第3个个体编号

，依次进行下去，直到获取整个样本．

3．分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成

的层，然后按照

，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围：

当总体是由

组成时，往往选用分层抽样．

【释疑解惑】

1．简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础，是一种等概率的抽样，应抓住以下特点：

(1)它要求总体个数较少；

(2)它是从总体中逐个抽取的；

(3)它是一种不放回抽样．

2．系统抽样又称等距抽样，号码序列一旦确定，样本即确定好了．但要注意，如果编号的个体特征随编号的变化呈现一定的周期性，那么样本的代表性是不可靠的，甚至会导致明显的偏向．

3．分层抽样一般在总体各层有明显差异时使用．

4．抽样方法经常交叉使用，比如系统抽样中均匀分段后的第一段，可采用简单随机抽样；分层抽样中，若每层中个体数量仍很大时，则可辅之以系统抽样等．

【小试牛刀】

1．用随机数表进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字．这些步骤的先后顺序应为(

) A．①②③

B．①③②

C．③②①

D．③①②

2．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是(

) A．随机抽样

B．分层抽样

C．系统抽样

D．以上都不是

3．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是(

) A．12,24,15,9

B．9,12,12,7 C．8,15,12,5

D．8,16,10,6

4．我校高三(18)班共有56人，学生编号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为____

____．

5．一个总体分为A，B两层，用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为112，则总体的个体数为________．

【典例剖析】

题型一

简单随机抽样

【例1】

下面的抽样方法是简单随机抽样的是(

) A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖

B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的

意见

D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验

【变式思考

1】

(1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性(

) A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大

B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小

C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等

D．与第几次抽样无关，与样本容量无关

(2)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(

) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08

B．07 C．02

D．01

题型二

系统抽样

【例2】

用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出个体的号码是__________．

【规律方法】

①系统抽样的特点——机械抽样，又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．②系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．

【变式思考

2】

(2013·陕西卷)某单位有840名职工，

现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，

将840人按1, 2, …，

840随机编号，

则抽取的42人中，

编号落入区间[481, 720]的人数为(

) A．11

B．12 C．13

D．14

题型三

分层抽样

【例3】

某市电视台在因特网上征集电视节目的现场参与互动，观众报名的共有12 000人，分别来自4个城区，其中东城区2 400人，西城区4 600人，南城区3 800人，北城区1 200人，从中抽取60人参加现场节目，应当如何抽取？

【规律方法】

在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni：Ni＝n：N.

【变式思考

3】

(1)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(

) A．简单随机抽样

B．按性别分层抽样

C．按学段分层抽样

D．系统抽样

【归纳小节】

●一条规律

三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是nN. ●三个特点

(1)简单随机抽样的特点：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽出的个体带有随机性，个体间无固定间距．

(2)系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．

(3)分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．

【螺旋上升】

抽样方法与其他知识的综合应用

分层抽样是历年高考的重要考点之一，高考中常把分层抽样、频率分布、概率综合起来进行考查，反映了当前高考的命题方向．这类试题难度不大，但考查的知识面较为宽广，在解题中要注意准确使用所学知识，不然在一个点上的错误就会导致整体失误．

【典例】

某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：

学历

本科

研究生

35岁以下

80

x 35～50岁

30

20

50岁以上

20 y

(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；

(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率

为539，求x，y的值．

【课堂感悟】

分层抽样与概率结合的题目多与实际问题紧密联系，计算量和阅读量都比较大，且会有图表，求解时容易造成失误，平时需注意多训练此类型的题目．

【课后练习】

1．某单位200名职工的年龄分布情况如下图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200名)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．

2．一个社会调查机构就某地居民的月收入(单位：元)调查了10 000人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如下图所示)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[1 500,2 000)收入段应抽出________人．