2.1.3 相等向量与共线向量课程导入

平面向量的线性运算

莱西一中

李炳建

课

型：习题课

教学目标：

1、知识目标：（1）理解并掌握平面向量的加法、减法运算法则及其几何意义

（2）使学生掌握平面向量共线定理并能熟练应用。

2、能力目标：（1）了解平面向量的加法、减法运算法则等方面的应用。

（2）进行化归思想、整体思想的渗透，培养学生的发散思维和逆向思维能力。

3、德育目标：通过采取小组合作学习，引导学生共同讨论，共同协作，使学生体会到合作精神的重要性，同时学会尊重他人。

教学重点：掌握平面向量线性运算并能熟练应用。

教学难点：掌握平面向量共线定理并能熟练应用

教学方法：讲练结合

教

具：多媒体

教学过程：

一、组织教学

二、温故知新

（1）

向量的有关概念

名称

向量

定义 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 长度为零的向量；其方向是任意的 长度等于1个单位的向量 备注 平面向量是自由向量 零向量

单位向量

记作___ 非零向量a

的单位向 量为_______

（2）向量的线性运算

平行向量

方向____或____的非零向量 共线向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 线 相等向量

长度____且方向_____的向量 相反向量

长度____且方向_____的向量 0

与任一向量_______或共两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为0

1

向量运算 定

义 法则(或几何意义)

运算律 abb(1)交换律： 加法 求两个向量和的运算 a三角形法则

ab

＝_____. (2)结合律：

b

ab

a平行四边形法则 abc______ ＝

求a与b

的

相反向量－

bab

b的和的运

a算叫做a

三角形法则

与b

的差 (1)|a |＝______； 求实数

(2)当0

时，a的方向与a的数乘 与向量a

方向____；当0时，a的方向的积的运算 与a的方向____；当0时，a＝___

（3）共线向量定理

向量aa0与b

共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得_______. 减法 abab a

＝____； a＝______；ab

＝______ 

三、小试牛刀

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) （1）零向量与任意向量平行.（

）

( 2 )若a//b,b//c,则a//c

(

) ( 3 )向量AB

与向量CD

是共线向量，则A,B,C,D

四点在一条直线上.(

)

2

( 4 )当两个非零向量

a,b共线时,一定有ba

,反之成立(

) ( 5 )在ABC中,D是BC中点,则AD1ACAB

.(

) 22.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b

都是单位向量,则ab;③向量BA

与AB

相等.则所有正确命题的序号是(

) A. ①

B. ③

C. ①③

D.①②

3.设向量a,b不平行，向量ab

与a2b

平行，则实数＝____________. 4.已知平行四边形ABCD

的对角线AC

和BD相交于O，且OAa,OBb，则DCODC ;BC ;(用a,b表示)

四、典例解析

考点一

平面向量的线性运算

［例1］

AB（1）在ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP11AB，BQBC，若ABa

，33ACb

，则PQ( ) A.a131111111b

B.ab

C.ab

D.

ab

3333333（2）在ABC中，点M，N满足AM2MC,BNNC，

若MNxAByAC

则

x=

；y=

.

规律方法

(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.

(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.

跟踪训练：

【训练1】

(1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点, 点F是BC的一个靠近B点的三等分点,那么EF等于（

）

1111ABAD

B. ABAD

23421112C.ABDA

D. ABAD

3223A.

3

(2) 在ABC中，AB2,BC3

,ABC60

,AD为BC边上的高，O

为AD

的中点，若AOABBC

则

等于

(

) A. 1

B. 112

C.

D.

233

考点二

共线向量定理及其应用

［例2］设两个非零向量a

和b

不共线

（1）

若ABab,BC2a8b,CD3ab ,求证：A,B,D三点共线；

（2）

试确定实数k，使kab

与akb共线.

规律方法

(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

(2)向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使

1a2b0

成立.

【训练2】（1）已知向量ABa3b,BC5a3b,CD3a3b

，则

（

）

A.

A

,

B

,

C

三点共线

B.

A

,

B

,

D

三点共线

A

C.

,

C

,

D

三点共线

D.

,

C

,

D

三点共线

B2

（2）已知A,B,C是直线l上不同的三个点，点O不在直线

l上，则使等式xOAxOBBC0

成立的实数x

的取值集合为（

）

A. 0

B.



C.

1

D.0,1

考点三

向量线性运算的综合应用

［例3］

（1）O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABAC,0, ,则点P的轨迹一定通过ABC

的（ ）

OPOAABACA. 外心

B. 内心

C. 重心

D. 垂心

（2）设O为ABC内部的一点，且OAOB3OC0

则AOC的面积与BOD

的面积之比为

4

规律方法

（1）三角形的内心：三角形内切圆的圆心，三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等；

（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，三角形三条边的中垂线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。若M是ABC内一点，满足MAMBMC ,则M是ABC的外心；

（3）三角形的垂心：三角形三条高线的交点；

（4）三角形的重心：三角形三条中线的交点。若G

是ABC内一点，且满足GAGBGC0 ,则G

是ABC的重心。

【训练3】(1)在ABC所在的平面上有一点P,满足PAPBPCAB ,则PBC与ABC的面积之比是（ ）

A.

1123 B. C. D. 3234ABAC,0,”改为(2)在［例3］（2）题设中的条件“OPOAABAC“OPOAABAC,0,

”,则P的轨迹一定通过ABC的（ ）

A.外心 B.重心 C.垂心 D.内心

课堂小结：

思想方法：

1.向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”

2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线

3.对于三点共线有以下结论：对于平面上任一点O,OA,OB不共线，满足OPxOAyOBx,yR则P、A、B共线xy1

五：当堂检测

（1）若非零向量a,b互为相反向量，则下列说法错误的是（ ）

A.a//b B.ab C.ab D.ba 

5

( 2 )

在ABC中，已知D是AB边上一点，若AD2DB,CD则λ=（

）

A.

1CACB

, 32112

B.

C.



D. 

3333( 3 )已知两个非零向量a,b不共线，且ka3b

与2akb

共线，求实数k的值

六、课后作业

必做题：1、化简：ACCDMBBCCM

2、在ABC中，D是AB边上一点，若ADDB,CD则λ=

选做题：1、若向量a,b不共线，且a4,b7,

则ab

的取值范围是

2.已知点P是ABC

内的一点，AP（

）

A. 2

B. 3

C. 1CACB

21ABAC，则ABC的面积与PBC面积之比为33

D.6

2

6