阅读与思考 向量及向量符号的由来优秀完整教案

三角函数题型与方法

牢记二倍角公式：

sin22sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2

一、

求单调区间、值域或最值。（注意：区间指的是x的取值范围）

（一）限定x范围

方法：需要先求出x的范围，将x看为整体，画出f(x)Asin(x)在给定区间上的图像，然后根据图像增长趋势，得到f(x)在x这一整体的什么范围内递增、什么范围内递减，或者整体取何值时f(x)达到最大或最小，如果要求单调区间，还需要由整体x的范围反求x的范围。

例1：已知函数f(x)2cosx(sinxcosx)1，xR．

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函数f(x)在区间，上的最小值和最84大值．

例2：已知函数f(x)2sin2π3πx23sinxcosx1。

（1）

求f(x)的最小正周期及图像的对称中心；

（2）

求f(x)在区间[

,]的单调区间。

63

例3：已知函数f(x)533sin2xcos2xm，当x[,]时，函数f(x)的2442最大值为0，求实数m的值。

（二）没有限制x的范围。

方法：f(x)Asin(x)的递增区间：由2k2x2k2求x范围；f(x)x范围

Asin(x)的递减区间：由2k2x2k3求2例1：已知函数f(x)sinxππ2x，sinx2cos，xR（其中0）662（I）求函数f(x)的值域； （II）若函数yf(x)的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离为π，求函数2yf(x)的单调增区间．

（三）不能化为同名三角函数，则运用二次函数或基本不等式。

1cos2x8sin2x例1:求函数f(x)在区间[0,]的最小值。

2sin2x

例2：已知函数f(x)cos2xsinxm在xR时的最大值为2，求f(x)在区间[

2,]上的值域。

2二、求取值范围

（一）求w的取值范围

题型：f(x)Asin(x)在区间[a,b]上递增（或递减），求w范围。

方法：根据所给区间，求出x的范围，将x看为整体，画出f(x)Asin(x)的图像，结合单调性确定端点范围。

例1：若f(x)2sinx(0)在[0,]上递增，求w的取值范围。

4

例2：f(x)cosx(0)在[0,]是单调函数，求w的取值范围。

2

（二）解三角形中求边或角的范围。

方法：利用正余弦定理求解，要求边，则将所给条件中的角用正弦定理化为边，要求角，则将所给条件中边化为角。

例1：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC(cosA3sinA)cosB0. (1)求角B的大小；

(2)若ac1，求b的取值范围.

例2：ABC在内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知abcosCcsinB. （1）求B；

（2）若b2，求ABC面积的最大值。

例3：设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA．

（1）求B的大小；（2）求cosAsinC的取值范围．

b2a2c2cos(AC)a,b,cacsinAcosA

例4:在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为，且（1）求角A；

（2）若a

例5：在△ABC中，已知内角A2，求bc的取值范围．

，边BC23．设内角Bx，周长为y．

（1）求函数yf(x)的解析式和定义域；

（2）求y的最大值．

osBbcos例6：设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且ac（1）求Ac3．

5tanA的值；

tanB（2）求tan(AB)的最大值．

三、

三角函数的化简、计算、证明的恒等变形

基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

（一）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()，2()()，2()()，例题：

22，222等）。

tan()（1）已知21tan()tan()5，44，那么4的值是_____。

cos(，且0（2）已知值。

22)12sin()os()的9，23，求c

（二）三角函数名互化(切割化弦) （1）求值sin50(13tan10)

sincos21,tan()3，求tan(2)的值

（2）已知1cos2

（三）公式变形使用（tantantan1tantan。

（1）已知A、B为锐角，且满足tanAtanBtanAtanB1，则cos(AB)＝_____ （2）设ABC中，tanAtanB33tanAtanB，是____三角形

sinAcosA34，则此三角形cos2（四）三角函数次数的降升(降幂公式：1cos21cos2sin222，与升幂22公式：1cos22cos，1cos22sin)。

(,)(1)若321111cos22222，化简为_____ 2（2）函数f(x)5sinxcosx53cosx53(xR)2的单调递增区间为____

（五）式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如

sintan（1）tan(cossin)

cotcsc



（答：sin）；

1sin12sin2（2）求证：1tan1tan222；

122cos4x2cos2x2tan(x)sin2(x)44（3）化简：

1cos2x（答：2）

22221sinxcosxsecxtanxtanxcotx

(6)常值变换主要指“1”的变换（tansin42322等），如已知tan2，求sinsincos3cos（答：5）.

sinxcosx”的内存联系――“知一求二”(7)正余弦“三兄妹—sinxcosx、，如

（1）若

sinxcosxt，则sinxcosx __ t212)，特别提醒：这里t[2,2]；

（答：（2）若(0,),sincos12，求tan的值。

473）（答：；

sin22sin2k()42，试用k表示sincos的值

1tan（3）已知（答：1k）。