二次根式应用名师教学设计

16.3

二次根式的加减

1.将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式,再进行合并.

2.能对含有二次根式的式子进行加减运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.

3.会计算二次根式的加减乘除混合运算,能准确地进行化简求值.

1.通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想.

2.培养学生的计算能力.

鼓励学生自主探究,提高学生自主学习的能力.

【重点】

二次根式的加减运算.

【难点】

探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式加减运算.

第课时

理解和掌握二次根式加减的方法.

先提出问题,分析问题,在分析问题过程中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导根式的计算和化简.

体会合作学习的乐趣.

【重点】

二次根式加减法的运算.

【难点】

快速准确进行二次根式加减法的运算.

【教师准备】

教学中出示的教学插图和例题.

【学生准备】

复习整式的计算.

导入一:

(出示教材第12页问题)现有一块长7.5 dm,宽5 dm的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8 dm和18 dm的正方形木板?

22

提问:①大、小正方形木板的边长分别为 dm和 dm,木板是否够宽?②木板是否够长呢?③怎样计算+的结果呢?

引导学生思考,并进行交流.

两个小正方形的边长分别为 dm和 dm,均小于5 dm,所以木板的宽度够,下面考虑木板是否够长,两个正方形的边长的和为 dm,实际上是求和的和,然后再比较+与7.5的大小.

怎样计算+呢?下边我们来探究二次根式的加减.

[设计意图]

设置问题情境,引出课题,体现了数学与生活的密切关系,激发学生探究二次根式加减运算法则的学习兴趣.

导入二:

我们一起来回顾一下:最简二次根式必须要满足哪几个条件?

(1)被开方数不含分母;(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

[过渡语]

二次根式的乘除法,可以用被开方数乘或者除以被开方数,然后化简得出结果.那么,二次根式的加法能用被开方数加上或减去被开方数吗?

提问:-=正确吗?

本节课,我们一起学习二次根式的加减之后就会明白上面的计算是否正确.

[设计意图]

复习最简二次根式,为合并被开方数相同的二次根式打下基础,通过类比设疑,唤起学生的探究欲望.

1.二次根式的加减法

[过渡语]

我们可否用整式的加减的方法来计算二次根式的加减呢?

思路一

教师引导学生将导入一中的二次根式化成最简二次根式:

+=2+3.

追问:可以像合并同类项那样合并吗?

学生小组讨论回答:相当于x,则合并同类项2x+3x=(2+3)x=5x,用类比的方法可知:根号前边的数字相当于系数,把系数相加得:(2+3)=5.

师生归纳:一般地,二次根式相加减时,可先将二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式合并.

[设计意图]

使学生应用类比思想解决问题,培养学生观察、归纳的能力.

思路二

(1)合并同类项:

①2x+3x=

;

222

②2a-3a+5a=

.

(2)请同学们用类似合并同类项的方法计算下列各题,并说说计算过程有什么规律.

①2+3=

;

②2-3+5=

.

学生回顾,合并同类项就是把系数相加减,字母部分不变.2x+3x=(2+3)x=5x,2a-3a+5a=(2-3+5)a=4a,教师提醒要注意不是同类项的不能合并.

22222

追问:第(1)问中的①中x换成,②中a换成,就成了第(2)问中的两个题目了,又该怎样运算呢?

2

学生用类似合并同类项的方法,得:①2+3=(2+3)=5;②2-3+5=(2-3+5)=4.

引导学生总结:第(2)问中的①和②都是将被开方数相同的二次根式进行合并,如果二次根式不是最简二次根式,需先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.例如,+=3+2=5.

教师归纳:二次根式加减时,先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.

[知识拓展]

(1)合并就是把二次根式根号外的因式或因数加起来,包含前面的符号,被开方数和根指数不变.(2)当二次根式的系数是带分数时,必须将其化成假分数.(3)化简后,被开方数不相同的根式不能合并.

2.例题讲解

(教材例1)计算:

(1)-;

(2)+.

引导学生对二次根式,,,化简,并进行检查、指正.

由学生独立完成解答过程,按照被开方数相同的合并在一起.

解:(1)-=4-3=.

(2)+=3+5=8.

(2)+.

(教材例2)计算:

(1)2-6

+3;

指导学生对二次根式进行化简,再加减,并追问:与能合并吗?

学生能成功化简,并在明白与的被开方数不相同,不能合并的基础上,再计算.

解:(1)2-6

+3=4-2+12=14.

(2)(+)+(-)=2+2+-=3+.

[方法归纳]

二次根式的加减运算,第一步是将不是最简二次根式的化成最简二次根式;第二步是将被开方数相同的最简二次根式合并,如果有括号,先去括号.

师生共同回顾本节课所学主要内容:

二次根式的加减运算,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.

①二次根式加减的实质是将被开方数相同的最简二次根式进行合并,与整式加减中合并同类项类似,即只把系数相加减,根指数和被开方数不变;

②在进行运算时还要注意,根号外的因式就是这个根式的系数,二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式;

③被开方数不相同的最简二次根式不能合并,对于没有合并的二次根式一定不能丢掉,其也是结果的一部分.

1.(2015·天门中考)下列各式计算正确的是

(

)

A.+=

B.4-3=1

C.2×3=6

D.÷=3

解析:A.不是同类二次根式,不能合并,故错误;B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉,故错误;C.应为2×3=6×3=18,故错误;D.原式===3,正确.故选D.

2.以下二次根式:①,②,③

,④中,化简后与被开方数相同的是(

)

A.①和②

B.②和③

C.①和④

D.③和④

解析:①=2;②=2;③

=;④=3.故选C.

3.(2015·重庆中考)计算3-的值是

(

)

A.2

B.3

C.

D.2

解析:3-=(3-1)=2.故选D.

4.一个等腰三角形的两边长分别为2,3,则三角形的周长为

.

解析:当2为腰长,3为底边长时,周长为3+4;当3为腰长,2为底边长时,周长为6+2.故填3+4或6+2.

5.若最简二次根式与的被开方数相同,则a=

解析:由题意得4a+1=6a-1,解得a=±1.故填±1.

6.计算:

22

(1)2+3-3+;

(2)-5

+.

解:(1)2+3-3+=(2-3)+(3+)=(2-3)+(3+1)=-+4.

(2)-5

+=2-5×+==.

1.二次根式的加减法

2.例题讲解

例1

例2

第1课时

一、教材作业

【必做题】

教材第13页练习第1,2,3题;教材第15页习题16.3第1,2,3题.

【选做题】

教材第15页习题16.3第5题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.(2015·衡阳中考)计算-=

.

2.(2014·遵义中考)计算+=

.

3.若+2

+x

=10,则x的值等于

.

【能力提升】

4.计算4

+3

-的结果是

(

)

A.+

B. C.

D.- 5.若的整数部分为x,小数部分为y,则x-y的值是

(

)

A.3-3

B. C.1

D.3 6.计算:

(1)-2;

(2)+

;

(3)5+5-+;

(4)-2. 7.如图所示,面积为48 cm的正方形的四个角都是面积为3 cm的小正方形,请动手操作,将四个角剪掉,制作一个无盖的长方体盒子,求这个长方体盒子的底面边长.

22

【拓展探究】

8.已知a为实数,化简:-a.阅读下面李东的解答过程,请判断是否正确.若不正确,请写出正确的解答过程.

李东的解答过程:-a=a-a·=(a-1).

【答案与解析】

1.(解析:原式=2-=.)

2.4(解析:+=3+=4.)

3.2(解析:+2

+x

=10化简得=2,故x=2.)

4.B(解析:先把二次根式化成最简二次根式,然后合并同类二次根式,原式=2+-2=.故选B.)

5.C(解析:的整数部分x=1,小数部分y=-1,所以x-y=1.故选C.)

6.解:(1)-2=5-2=3.

(2)+

=+=.

(3)5+5-+=5+5-3+3=2+8.

(4)-2=--+4=.

7.解:长方体盒子的底面边长为:-2=4-2=2(cm).

8.解:不正确.正确解答过程如下:因为所以a<0.原式=-a=-a+=(1-a).

在授课过程中,以学生为主体,进行探究性学习,让学生自己发现规律,得出概念.在例题的选择上由简到难,符合学生的认知规律,便于掌握.在得到定义、法则的过程中,让学生经历发现、思考、探究的过程,体会学习知识的成功与快乐.

在教学过程中,存在着一些不足之处.一是对学情分析不足,主要是过高估计学生的学习能力,对以前学过的二次根式的化简复习工作做得不够,导致后续的新知识的学习遇到许多麻烦.二是在学生自主学习方面还存在着不足.遇到困难有畏难情绪、对老师的依赖性太强.这些都有待于在今后的教学中进行教育和引导.

适当增加习题练习量,被开方数有分母时化简易出错,对此类题目重点训练.

练习(教材第13页)

1.解:(1)不正确.-=2-.

(2)不正确.+=2+3=5.

(3)正确.3-=(3-1)×=2.

2.解:(1)2-6=(2-6)=-4.

(2)-+=4-2+=(4-2+1)=3.

(3)+(-)=3+(7-3)=10-3.

(4)(+)-=2+-+=3+.

3.解:d=R-r=

-

≈

-

=-=2-2≈0.83.答:圆环的宽度d约为0.83.