二次根式应用PPT专用课堂实录内容

16．1.1 二次根式

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键

1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题：

二、探索新知

很明显3、10、4，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根6的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

（学生活动）议一议：

1．-1有算术平方根吗？

2．0的算术平方根是多少？

3．当a<0，a有意义吗？

老师点评:（略）

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1、x（x>0）、x0、42、-2、1、xy（x≥0，y•≥0）．

xy”；第二，被开方数是正数

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“或0．

解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、xy（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：33、114、2、．

xxy

例2．当x是多少时，3x1在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•3x1才能有意义．

解：由3x-1≥0，得：x≥

当x≥1

31时，3x1在实数范围内有意义．

3

三、巩固练习

教材P5练习1、2、3．

四、应用拓展

例3．当x是多少时，2x3+

分析：要使2x3+1在实数范围内有意义？

x11在实数范围内有意义，必须同时满足2x3中的≥0和x11中的x+1≠0．

x1

解：依题意，得

由①得：x≥-2x30

x103

2

由②得：x≠-1

当x≥-31且x≠-1时，2x3+在实数范围内有意义．

2x1例4(1)已知y=2x+x2+5，求x的值．(答案:2) y2) 5(2)若a1+b1=0，求a2004+b2004的值．(答案:

五、归纳小结（学生活动，老师点评）

本节课要掌握：

1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

六、布置作业

1．教材P5

1，2，3，4 2．选用课时作业设计．

第一课时作业设计

一、选择题

1．下列式子中，是二次根式的是（

）

A．-7

B．37

C．x

D．x

2．下列式子中，不是二次根式的是（

）

A．4

B．16

C．8

D．1x

3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（

）

A．5

B．5

C．15

D．以上皆不对

二、填空题

1．形如________的式子叫做二次根式．

2．面积为a的正方形的边长为________．

3．负数________平方根．

三、综合提高题

1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，做成正方形，试问底面边长应是多少？

2．当x是多少时，2x3x+x2在实数范围内有意义？

3．若3x+x3有意义，则x2=_______．

4.使式子(x5)2有意义的未知数x有（

）个．

A．0

B．1

C．2

D．无数

5.已知a、b为实数，且a5+2102a=b+4，求a、b的值．

第一课时作业设计答案:

一、1．A

2．D

3．B

二、1．a（a≥0）

2．a

3．没有

三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=5．

2．依题意得：2x30x3x0，2

x0∴当x>-32x2且x≠0时，3x＋x2在实数范围内没有意义．

3.13

4．B

5．a=5，b=-4 底面应•

16.1.2 二次根式(2) 教学内容

1．a（a≥0）是一个非负数；

2．（a）2=a（a≥0）．

教学目标

理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

教学重难点关键

1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．

2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a）2=a（a≥0）．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）口答

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？

老师点评（略）．

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

a（a≥0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

a（a≥0）是一个非负数．

做一做：根据算术平方根的意义填空：

（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；

（1272）=______；（）=_______；（0）2=_______．

32

老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．

同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（（0）2=0，所以

（a）2=a（a≥0）

例1

计算

1．（121727）=，（）=，3232325272 ）

2．（35）2

3．（）

4．（）226

分析：我们可以直接利用（a）2=a（a≥0）的结论解题．

解：（323） =，（35）2 =32·（5）2=32·5=45，

2252572(7)27（）=，（）=．

622426

三、巩固练习

计算下列各式的值：

（18）2

（2272 92）

（）

（0）2

（4）438(35)2(53)2

四、应用拓展

例2

计算

1．（x1）2（x≥0）

2．（a）2

3．（a2a1）2

4．（4x12x9）2 分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题．

解：（1）因为x≥0，所以x+1>0

（x1）2=x+1

（2）∵a2≥0，∴（a）2=a2

（3）∵a2+2a+1=（a+1）2

又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴a2a1=a2+2a+1 22222

（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2

又∵（2x-3）2≥0 ∴4x2-12x+9≥0，∴（4x212x9）2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3

（2）x4-4

(3) 2x2-3 分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：

1．a（a≥0）是一个非负数；

2．（a）2=a（a≥0）;反之:a=（a）2（a≥0）．

六、布置作业

1．教材P5

5，6，7，8 2．选用课时作业设计．

第二课时作业设计

一、选择题

2222

1．下列各式中15、3a、b1、ab、m20、144，二次根式的个数是（

）．

A．4

B．3

C．2

D．1

2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（

）．

A．a>0

B．a≥0

C．a<0

D．a=0

二、填空题

1．（-3）2=________．

2．已知x1有意义，那么是一个_______数．

三、综合提高题

1．计算

（1）（9）2

（2）-（3）2

（3）（

(5) (2332)(2332)

2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:

（1）5

（2）3.4

（3）3．已知xy1+126）2

（4）（-322 ）31

（4）x（x≥0）

6x3=0，求xy的值．

4．在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-2

（2）x4-9

3x2-5

21.1 二次根式(3) 教学内容

a2＝a（a≥0）

教学目标

理解a2=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．

通过具体数据的解答，探究a2=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．

教学重难点关键

1．重点：a2＝a（a≥0）．

2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a≥0时，a＝a才成立．

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式；

2．a（a≥0）是一个非负数；

3．(a)2＝a（a≥0）．

那么，我们猜想当a≥0时，a=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．

二、探究新知

（学生活动）填空：

22122=_______；0.012=_______；()2=______；

1023()2=________；02=________；()2=_______．

37

（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

12312322=2；0.012=0.01；()2=；()2=；02=0；()2=．

103710372

因此，一般地：a=a（a≥0）

例1

化简

22

（1）9

（2）(4)

（3）25

（4）(3)

分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，

（4）（-3）2=32，所以都可运用a2=a（a≥0）•去化简．

2解：（1）9=32=3

（2）(4)=42=4

2（3）25=52=5

（4）(3)=32=3

三、巩固练习

教材P7练习2．

四、应用拓展

例2

填空：当a≥0时，a2=_____；当a<0时，a2=_______，•并根据这一性质回答下列问题．

（1）若a=a，则a可以是什么数？

（2）若a=-a，则a可以是什么数？

（3）a>a，则a可以是什么数？

分析：∵a=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，2应变形，使“（

）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，a2=(a)，那么-a≥0．

2222

（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知a=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．

解：（1）因为a=a，所以a≥0；

（2）因为a=-a，所以a≤0；

（3）因为当a≥0时a=a，要使a>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，a=-a，要使a>a，即使-a>a，a<0综上，a<0 22例3当x>2，化简(x2)-(12x)．

2222222分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：a=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，a＝－a的应用拓展．

六、布置作业

1．教材P5习题16．1

3、4、6、8．

2．选作课时作业设计．

22

第三课时作业设计

一、选择题

1．(2)(2)的值是（

）．

A．0

B．13213222

C．4

D．以上都不对

332

2．a≥0时，a2、(a)、-a2，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（

）．

22

A．a2=(a)≥-a2

B．a2>(a)>-a2

22

C．a2<(a)<-a2

D．-a2>a2=(a)

二、填空题

1．-0.0004=________．

2．若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________．

三、综合提高题

1．先化简再求值：当a=9时，求a+12aa的值，甲乙两人的解答如下：

2

甲的解答为：原式=a+(1a)=a+（1-a）=1；

22乙的解答为：原式=a+(1a)=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

2．若│1995-a│+a2000=a，求a-19952的值．

（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）

23. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+(x3)+x210x25。

答案:

一、1．C

2．A

二、1．-0．02

2．5 三、1．甲

甲没有先判定1-a是正数还是负数

2．由已知得a-•2000•≥0，•a•≥2000

所以a-1995+a2000=a，a2000=1995，a-2000=19952，

所以a-19952=2000．

3. 10-x

21．2 二次根式的乘除

教学内容

a·b＝ab（a≥0，b≥0），反之ab=a·b（a≥0，b≥0）及其运用．

教学目标

理解a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简

由具体数据，发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆向思维，得出ab=a·b（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．

教学重难点关键

重点：a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及它们的运用．

难点：发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）．

关键：要讲清ab（a<0,b<0）=ab，如(2)(3)=(2)(3)或(2)(3)=23=2×3．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题．

1．填空

（1）4×9=_______，49=______；

（2）16×25=_______，1625=________．

（3）100×36=________，10036=_______．

参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

4×9_____49，16×25_____1625，100×36________10036

2．利用计算器计算填空

（1）2×3______6，（2）2×5______10，

（3）5×6______30，（4）4×5______20，

（5）7×10______70．

老师点评（纠正学生练习中的错误）

二、探索新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．

老师点评：（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

一般地，对二次根式的乘法规定为

a·b＝ab．（a≥0，b≥0）

反过来:

ab=a·b（a≥0，b≥0）

例1．计算

（1）5×7

（2）13×9

（3）9×27

分析：直接利用a·b＝ab（a≥0，b≥0）计算即可．

解：（1）5×7=35

（2）13×9=139=3

（3）9×27=927923=93

（4）12×6=126=3

例2

化简

（1）916

（2）1681

（3）81100

（4）9x2y2

（5）54

分析：利用ab=a·b（a≥0，b≥0）直接化简即可．

解：（1）916=9×16=3×4=12

（2）1681=16×81=4×9=36

（3）81100=81×100=9×10=90

（4）9x2y2=32×x2y2=32×x2×y2=3xy

（5）54=96=32×6=36

4）12×6

（

三、巩固练习

（1）计算（学生练习，老师点评）

①

16×8

②36×210

③5a·20; 18;

1ay

5(2) 化简: 24;

54;

12a2b2

教材P11练习全部

四、应用拓展

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1）(4)(9)49

（2）4121212×25=4××25=4×25=412=83

252525

解：（1）不正确．

改正：(4)(9)=49＝4×9=2×3=6

（2）不正确．

改正：412112112×25=×25=25=112=167＝47

252525

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）a·b＝ab=（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及其运用．

六、布置作业

1．课本P11

1，4，5，6．（1）（2）．

2．选用课时作业设计．

第一课时作业设计

一、选择题

1．化简a1的结果是（

）．

a

A．a

B．a

C．-a

D．-a

2．等式x1x1x21成立的条件是（

）

A．x≥1

B．x≥-1

C．-1≤x≤1

D．x≥1或x≤-1

3．下列各等式成立的是（

）．

A．45×25=8 5

B．53×42=205

C．43×32=75

D．53×42=206

二、填空题

1．1014=_______．

2．自由落体的公式为S=12gt（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高2度为720m，则下落的时间是_________．

三、综合提高题

1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？

2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．

（1）222=2

332222223(232)22验证：2=2×==

33333223222(221)22==

2222321212121

（2）333=3

88333333332验证：3=3×==

28831833(321)33(321)33==

2228313131

同理可得：4444

1515

5555，……

2424a=_______（a>0）,并验证你的结论．

2a1

通过上述探究你能猜测出：

a答案:

一、1．B

2．C

3.A

4.D

二、1．136

2．12s

三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，

则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，

x=3030×2=302．

2．

aaa=

a22a1a1aaa32验证：a=a2

22a1a1a1aa3aaa3aaa(a21)aa===. a21a21a21a21a21a21

21．2 二次根式的乘除(2) 教学内容

aaaa=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化bbbb简．

教学目标

理解aaaa=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．

bbbb

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．

教学重难点关键

1．重点：理解aaaa=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计bbbb算和化简．

2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题：

1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．

2．填空

（1）99=________，=_________；

1616

（2）1616=________，=________；

3636

（3）44=________，=_________；

16163636=________，=________．

818116949164______；______；_______；

361616361616

（4）规律：3636_______．

8181

3．利用计算器计算填空:

（1）3227=_________，（2）=_________，（3）=______，（4）=________．

4358

规律：32273227______；_______；_____；_____。

43584358

每组推荐一名学生上台阐述运算结果．

（老师点评）

二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：

一般地，对二次根式的除法规定：

aa=（a≥0，b>0），

bb反过来，aa=（a≥0，b>0）

bb

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

例1．计算：（1）31111264

（2）

（3）

（4）

2841683

分析：上面4小题利用aa=（a≥0，b>0）便可直接得出答案．

bb解：（1）1212==4=2

33

（2）31313=834=3×=23

2828211111=16=4=2 41641646464==8=22

88（3）（4）

例2．化简：

364b25x9x

（1）

（2）

（3）

（4）

222649a169y64y

分析：直接利用aa=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．

bb解：（1）333=

6486464b28b64b2

（2）=

223a9a9a

（3）9x3x9x=

28y64y264y5x5x5x=

2213y169y169y

（4）

三、巩固练习

教材P14

练习1．

四、应用拓展

x25x49x9x

例3．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．

2x6x1x6分析：式子aa=，只有a≥0，b>0时才能成立．

bb9x0x9，即

x6x60因此得到9-x≥0且x-6>0，即6

解：由题意得

∴6

∵x为偶数

∴x=8

∴原式=（1+x）(x4)(x1)

(x1)(x1)

=（1+x）x4

x1x4=(1x)(x4)

(x1)

=（1+x）

∴当x=8时，原式的值=49=6．

五、归纳小结

本节课要掌握aaaa=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用．

bbbb

六、布置作业

1．习题16．2

2、7、8、9．

2．选用课时作业设计．

第二课时作业设计

一、选择题

1．计算1213121的结果是（

）．

35

A．2722

5

B．

C．2

D．772．阅读下列运算过程：

13322525，

35333555

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简是（

）．

A．2

B．6

C．

二、填空题

1．分母有理化:(1) 2的结果6136

D．6

132=_________;(2) 110=________;(3) =______. 1225

2．已知x=3，y=4，z=5，那么yzxy的最后结果是_______．

三、综合提高题

1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为3：1，•现用直径为315cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？

2．计算

nnn1n3

（1）·（-）÷（m>0，n>0）

333m2m2mmm3mna23m23n2

（2）-3÷（）×

（a>0）

222amn2a

答案:

一、1．A

2．C 二、1．(1) 102523315;(2) ;(3)

2．

66322525三、1．设：矩形房梁的宽为x（cm），则长为3xcm，依题意，

得：（3x）2+x2=（315）2，

4x2=9×15，x=3215（cm），

13543x·x=3x2=3（cm2）．

n2．（1）原式＝-2mnn4n÷=-2m3m22m5n42m3

2m5nn2nn3nn=-22n=-3n

2mmmmm3(mn)(mn)a2a23a2

（2）原式=-2=-2=-6a 2a2mnmn2

21.2 二次根式的乘除(3) 教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．

教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．

重难点关键

1．重点：最简二次根式的运用．

2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

1．计算（1）3328，（2），（3）

5272a382a15326=，=，=

5a52732a

老师点评：

2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•那么它们的传播半径的比是_________．

它们的比是2Rh12Rh2．

二、探索新知

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：

1．被开方数不含分母；

2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．

学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．

老师点评：不是．

2Rh12Rh2=2Rh12Rh2h1h2h1h2. h28x2y3

例1．(1) 35; (2) 12x2y4x4y2; (3)

例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．

AB

解：因为AB=AC+BC222 C

所以AB=2.5262=()2365216916913=6.5（cm）

424

因此AB的长为6.5cm．

三、巩固练习

练习2、3

四、应用拓展

例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

11(21)21==2-1，

2121(21)(21)11(32)32==3-2，

3232(32)(32)

同理可得：1=4-3，……

43

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

（1111+++……）（2002+1）的值．

20022001213243

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．

解：原式=（2-1+3-2+4-3+……+2002-2001）×（2002+1）

=（2002-1）（2002+1）

=2002-1=2001

五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．

六、布置作业

1．习题16．2

3、7、10．

2．选用课时作业设计．

第三课时作业设计

一、选择题

1．如果x（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（

）．

y

A．xyx（y>0）

B．xy（y>0）

C．（y>0）

D．以上都不对

yy

2．把（a-1）1中根号外的（a-1）移入根号内得（

）．

a1

A．a1

B．1a

C．-a1

D．-1a

3．在下列各式中，化简正确的是（

）

A．511=315

B．=±23242

C．ab=a2

4．化简b

D．

x3x2=xx1

32的结果是（

）

27226

B．-

C．-

D．-2

333

A．-

二、填空题

422

1．化简xxy=_________．（x≥0）

2．aa1化简二次根式号后的结果是_________．

a2

三、综合提高题

1．已知a为实数，化简：a3-a不正确，•请写出正确的解答过程：

解：a-a31，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若a11=aa-a·aaa=（a-1）a

2．若x、y为实数，且y=

答案:

一、1．C

2．D

3.C

4.C x244x21，求xyx2xy的值．

22

二、1．xxy

2．-a1

三、1．不正确，正确解答：

a30因为1，所以a<0，

0a原式＝aa2-a·aa2=·-a·=-aa+a=(1-a) aa2a2aa

21x402．∵

∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=

244x0

∴

xyxyx2y24163. 16421.3 二次根式的加减(1)

教学内容

二次根式的加减

教学目标

理解和掌握二次根式加减的方法．

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．

重难点关键

1．重点：二次根式化简为最简根式．

2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．

教学过程

一、复习引入

学生活动：计算下列各式．

（1）2x+3x；

（2）2x2-3x2+5x2；

（3）x+2x+3y；

（4）3a2-2a2+a3

教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．

二、探索新知

学生活动：计算下列各式．

（1）22+32

（2）28-38+58

（3）7+27+397

（4）33-23+2

老师点评：

（1）如果我们把2当成x，不就转化为上面的问题吗？

22+32=（2+3）2=52

（2）把8当成y；

28-38+58=（2-3+5）8=48=82

（3）把7当成z；

7+27+97

=27+27+37=（1+2+3）7=67

（4）3看为x，2看为y．

33-23+2

=（3-2）3+2

=3+2

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如22与8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．

（板书）32+8=32+22=52

33+27=33+33=63

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．

例1．计算

（1）8+18

（2）16x+64x

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52

（2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x

例2．计算

（1）348-91+312

3

（2）（48+20）+（12-5）

解：（1）348-91+312=123-33+63=（12-3+6）3=153

3

（2）（48+20）+（12-5）=48+20+12-5

=43+25+23-5=63+5

三、巩固练习

教材P19

练习1、2．

四、应用拓展

例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（2x9x+y23y1x2）-（x-5x）的值．

3xxy

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=1，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同2类二次根式，最后代入求值．

解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0

∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0

∴（2x-1）2+（y-3）2=0

∴x=1，y=3 22x9x+y23

原式=yx21-x+5x

3xxyx+5xy

=2xx+xy-x

=xx+6xy

当x=1，y=3时，

2

原式=1312×+6=+36

2224

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二

次根式进行合并．

六、布置作业

1．习题16．3

1、2、3、5．

2．选作课时作业设计．

第一课时作业设计

一、选择题

1．以下二次根式：①12；②22；③2；④27中，与3是同类二次根式的3是（

）．

A．①和②

B．②和③

C．①和④

D．③和④

2．下列各式：①33+3=63；②17③2+6=8=22；④7=1；24=22，3其中错误的有（

）．

A．3个

B．2个

C．1个

D．0个

二、填空题

1．在8、112275a、9a、125、3a3、30.2、-2中，与3a是同33a8类二次根式的有________．

2．计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是________．

三、综合提高题

1．已知5≈2.236，求（80-1

2．先化简，再求值．

（6x

41445）的值．（结果精确到0.01）

）-（3+555y33xxy3）-（4x++36xy），其中x=，y=27．

2xyy

21.3 二次根式的加减(2)

教学内容

利用二次根式化简的数学思想解应用题．

教学目标

运用二次根式、化简解应用题．

通过复习，将二次根式化成

被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．

重难点关键

讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．

教学过程

一、复习引入

上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．

二、探索新知

例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？（结果用最简二次根式表示）

CQAB

分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值．

解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．

则有PB=x，BQ=2x

依题意，得：

x2=35

x=35

所以35秒后△PBQ的面积为35平方厘米．

答：35秒后△PBQ的面积为35平方厘米．

例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段B的长度．

解：由勾股定理，得

2mP1x·2x=35 2A4mwww.czsx.com.cnD1mC

AB=AD2BD2422220=25

2222

BC=BDCD21=5

所需钢材长度为

AB+BC+AC+BD

=25+5+5+2

=35+7

≈3×2.24+7≈13.7（m）

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材．

三、巩固练习

教材练习3

四、应用拓展

例3．若最简根式3ab4a3b与根式2abb6b是同类二次根式，求a、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式2322ab2b36b2不是最简二次根式，因此把2ab2b36b2化简成|b|·2ab6，才由同类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b．

解：首先把根式2abb6b化为最简二次根式：

2322ab2b36b2=b2(2a16)=|b|·2ab6

4a3b2ab6

3ab2

由题意得

∴2a4b6

3ab2

∴a=1，b=1

五、归纳小结

本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．

六、布置作业

1．习题16．3

7．

2．选用课时作业设计．

作业设计

一、选择题

1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（

）．（•结果用最简二次根式）

A．52

B．50

C．25

D．以上都不对

2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（

）米．（结果同最简二次根式表示）

A．13100

B．1300

C．1013

D．513

二、填空题

1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）

2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）

三、综合提高题

1．若最简二次根式223m22与n14m210是同类二次根式，求m、n的值．

3

2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2，5=（5）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：

（2-1）2=（2）2-2·1·2+12=2-22+1=3-22

反之，3-22=2-22+1=（2-1）2

∴3-22=（2-1）2

∴322=2-1 求：（1）322；

（2）423；

（3）你会算412吗？

（4）若a2b=mn，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．

答案:一、1．A

2．C 二、1．202

2．2+22

222m223m24m10m8三、1．依题意，得2

，2

，

n12n3n3m22m22m22m22所以或

或

或

n3n3n3n32．（1）322=(21)=2+1

（2）423=(31)=3+1

（3）412=423（4）22(31)2=3-1

mna

理由：两边平方得a±2b=m+n±2mn

mnbamn所以

bmn

21.3 二次根式的加减(3)

教学内容

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．

教学目标

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．

复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．

重难点关键

重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题:

1．计算

（1）（2x+y）·zx

（2）（2x2y+3xy2）÷xy

2．计算

（1）（2x+3y）（2x-3y）

（2）（2x+1）2+（2x-1）2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．

二、探索新知

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．

例1．计算:

（1）（6+8）×3

（2）（46-32）÷22

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．

解：（1）（6+8）×3=6×3+8×3

=18+24=32+26

解：（46-32）÷22=46÷22-32÷22

=23-3

2

例2．计算

（1）（5+6）（3-5）

（2）（10+7）（10-7）

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．

解：（1）（5+6）（3-5）

=35-（5）2+18-65

=13-35

（2）（10+7）（10-7）=（10）2-（7）2

=10-7=3

三、巩固练习

课本练习1、2．

四、应用拓展

例3．已知xbxa=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，

ba化简x1xx1x+，并求值．

x1xx1x

分析：由于（x1+x）（x1-x）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．

(x1x)2(x1x)2解：原式=+

(x1x)(x1x)(x1x)(x1x)

(x1x)2(x1x)2=+

(x1)x(x1)x

=（x+1）+x-2x(x1)+x+2x(x1)

=4x+2

∵xbxa=2-

ba

∴b（x-b）=2ab-a（x-a）

∴bx-b2=2ab-ax+a2

∴（a+b）x=a2+2ab+b2

∴（a+b）x=（a+b）2

∵a+b≠0

∴x=a+b

∴原式=4x+2=4（a+b）+2

五、归纳小结

本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．

六、布置作业

1．习题16．3

1、8、9．

2．选用课时作业设计．

作业设计

一、选择题

1．（24-315+22

A．2）×2的值是（

）．

3232033-330

B．330-233

C．230-3

D．2033-30

2．计算（x+x1）（x-x1）的值是（

）．

A．2

B．3

C．4

D．1

二、填空题

1．（-132+）的计算结果（用最简根式表示）是________．

222．（1-23）（1+23）-（23-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．

3．若x=2-1，则x2+2x+1=________．

4．已知a=3+22，b=3-22，则a2b-ab2=_________．

三、综合提高题

1．化简57

10141521x1x2xx1x2x1

2．当x=时，求+的值．（结果用最简二次根2221x1xxx1xx式表示）

课外知识

1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．

练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（

）．

A．2x与2y

B．834958ab与ab

92C．mn与n

D．mn与mn

2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-x2x与x+1+2x22x就是互为有理化因式；x与1也是互为有理化因式．

x

练习：2+3的有理化因式是________；

x-y的有理化因式是_________．

-x1-x1的有理化因式是_______．

3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．

练习：把下列各式的分母有理化

（1）1123342；

（2）；

（3）；

（4）．

12351623342

4．其它材料：如果n是任意正整数，那么nnn=n

n21n21nnn3nnn3

理由：n2==n

222n1n1n1n1

练习：填空2342=_______；3=________；4=_______．

8153

答案:

一、1．A

2．D

二、1．1-3

2．43-24

3．2

4．42

2三、1．原式＝57

25273537157=

232(57)3(57)==-（2-3）=3-2

2．原式＝(x1x2x)2(x1x2x)2(x1)(xx)222

2(x1)2(x2x)22(x1)(x1x)=== 2（2x+1）

x1x1

∵x=

1=2+1

原式＝2（22+3）=42+6. 21