2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案教学设计导入设计

2017-2018（下）高中一年级数学（必修2）人教版

编写时间：

2018年4月7日

学校：新会李文达中学

主备人：梁衍镇

审核人：李锡桓

课型：

新授

(2)向量的坐标表示：在向量a的直角坐标中，___叫做a在x轴上的坐标，___叫做a在y轴上的坐标，

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

【学习目标】1. 根据向量加法的平行四边形法则逆推，理解平面向量基本定理，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

3.通过学***面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.[来源:Z。xx。k.Com]

【重点难点】[来源:Zxxk.Com]重点：平面向量基本定理的应用

难点：平面向量基本定理的运用，根据向量加法的平行四边形法则逆推进行举例说明。[来源:学#科#网]

【导学流程】

自主学习内容

一、回顾旧知：1．向量数乘运算

实数λ与向量a的积是一个_____，这种运算叫做向量的_____，记作____，其长度与方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa(a≠0)的方向：当______时，与a方向相同，当______时，与a方向相反.

特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝__或λ0＝__. 2．共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得_________.

二、基础知识感知 阅读课本93-97页，总结向量数乘的相关知识，填写下列内容。

1．平面向量基本定理

(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的_______向量a，______________实数λ1，λ2，使a＝___________. (2)基底：_______的向量e1，e2叫做表示这一平面内_______向量的一组基底．

2．两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个___________a和b，作→OA＝a，→OB＝b，则___________＝θ，叫做向量a与b的夹角．

①范围：向量a与b的夹角的范围是____________. ②当θ＝0°时a与b___________．

③当θ＝180°时a与b___________．

(2)垂直：如果a与b的夹角是____，则称a与b垂直，记作________. 3．平面向量的正交分解：把一个向量分解成两个____________的向量，叫做把向量正交分解．

4．平面向量的坐标表示

(1)向量的直角坐标：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个__________i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝________，则把有序数对________叫做向量a的坐标．

___________叫做向量的坐标表示．

(3)在向量的直角坐标中，i＝______，j＝______，0＝(0,0)．

5．平面向量的坐标运算

(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么

a＋b＝________________， a－b＝________________， λa＝________________．

(2)已知A(x)，B(x→→→1，y12，y2)，O为坐标原点，则AB＝OB－OA＝(x2，y2)－(x1，y1)＝________________．

即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_______的坐标减去_______的坐标．

三．探究问题: 探究一：向量共线的问题

【例】设e1，e2是同一平面内所有向量的一组基底，a

＝λ1e1＋e2，b＝4e1＋2e2，并且a，b共线，则下列各式正确的是(

) A．λ1＝1 B．λ1＝2 C．λ1＝3 D．λ1＝4 探究二：用基底表示向量

已知AD是△ABC的BC边上的中线，若→AB＝a，→AC＝b，则→AD＝(

)

A.12( a－

b) B．－12( a－

b) C．－12(

a＋b) D.12( a＋b)

探究三：求向量坐标

已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，求a和b. 小组讨论问题预设: 1.若向量→BA＝(1,2)，→CA＝(4,5)，求→BC；

2.已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，求3b2a－2的坐标；[来源:Zxxk.Com]

3.若a＝(x＋3，x2－3x－4)与→AB相等，其中A(1,2)，B(3,2)，求实数x的值．

提问展示问题预设：

1.已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组中不能作为基底的是(

) A．e与e111－e2 B．e1＋2e2与2e1＋e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．3e1＋4e2与4e1＋3e2

2017-2018（下）高中一年级数学（必修2）人教版

编写时间：

2018年4月7日

学校：新会李文达中学

主备人：梁衍镇

审核人：李锡桓

课型：

新授

2.已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是(

) A．λ＝0 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0 课堂训练问题预设：若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，求→AB＋1→→→2BC和BC－2AC的坐标．

第Ⅱ部分 基础知识达标

一、选择题(每题5分，共50分)

1．设O是平行四边形ABCD的两对角线的交点，下列向量组：①→AD与→AB；②→DA与→BC；③→CA与→DC；④→OD与→OB.其中可作为表示这个平行四边形所在平面内的所有向量的基底是( ) A．①②

B．①③

C．①④

D．③④

2．设e1，e2为两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则( ) A．λ＝0

B．λ＝－12

C．λ＝－1

D．λ＝－2 3．设e→＝3e→→1，e2是平面内一组基底，如果AB1－2e2，BC＝4e1＋e2，CD＝8e1－9e2，则共线的三点是( ) A．A、B、C B．B、C、D C．A、B、D D．A、C、D[来源:学§科§网]

4．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(

) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1 C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2

5．若O(0，0)，A(－1，3)且→OB＝3→OA，则点B的坐标为( ) A．(3，9) B．(－3，9) C．(－3，3) D．(3，－3) 6．已知MA＝(－2，4)，MB＝(2，6)，则12AB＝( )

A．(0，5) B．(0，1) C．(2，5) D．(2，1) 7．已知A(0，0)，B12，－13，C－12，23，则(

) A. AB→＝－12，13 B. BC→＝0，13 C. CA＝－12，23 D. AC＋AB＝10，3

8．若→AB＝(2，3)，且点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为( ) A．(1，1) B.(－1，1) C.(3，5) D.(4，4)

9．已知平行四边形OABC(O为原点)，→OA＝(2，0)，→OB＝(3，1)，则OC等于( )

A．(1，1) B．(1，－1) C．(－1，－1) D．(－1，1) 10．若向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则c等于( ) A．－12a＋32b B.12a－331312b C.2a－2b D．－2a＋2b 二、填空题(每题5分，共15分) 11．如果3e1＋4e2＝a，2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝________，e2＝________．

12．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________．

13.设a＝(4，－3)，b＝(x，5)，c＝(－1，y)，若a＋b＝c，则(x，y)＝_______ 三、解答题（35分）

15．（8分）如下图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，→AB＝a.AD→＝b，试用基底a、b表示→MC，→MA，→MB和→MD.

16．（8分）已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且AP＝32PB，求点P的坐标．

17．（10分）已知A(－2，1)，B(1，7)，求线段AB的三等分点P，Q的坐标(其中P距点A近)．

18．（9分）已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP＝OA＋tAB，试求t为何值时：

(1)点P在x轴？ (2)点P在y轴？ (3)点P在第一象限