2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案板书设计

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3

平面向量的坐标运算

【课时目标】

1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量. 2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．

【知识梳理】

1．平面向量的坐标表示

(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．

(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，则________________叫作向量a的坐标，________________叫作向量的坐标表示．

→(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则OA＝________，若A(x1，y1)，B(x2，→y2)，则AB＝________________________. 2．平面向量的坐标运算

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．

(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．

(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

【作业反馈】

一、选择题

131．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于(

) 22A．(－2，－1)

B．(－2,1) C．(－1,0)

D．(－1,2) 12．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于(

) 2A．(－2，－2)

B．(2,2) C．(－2,2)

D．(2，－2) 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(

) A．－2,1

B．1，－2 C．2，－1

D．－1,2 →1→4．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且MP＝MN，则点P的坐标为(

) 231，

A．(－8,1)

B.23－1，－

D．(8，－1) C.2→→→5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD等于(

) A．(－2，－4)

B．(－3，－5) 第

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C．(3,5)

D．(2,4) 6．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(

) A．(－7,0)

B．(7,6) C．(6,7)

D．(7，－6) 题

号

1

2

3

4

5

6 答

案

二、填空题

1→1→7．已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则AC－BC的坐标是________．

24→→8．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且AC＝2BD，则x＋y＝________. →9．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB相等，其中A(1,2)，B(3，2)，则x＝________. 10．函数y＝x2＋2x＋2按向量a平移所得图象的解析式为y＝x2，则向量a的坐标是________．

三、解答题

11．已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.

12．已知平面上三个点坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．

能力提升

13．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于(

) A．{(1,1)}

B．{(－1,1)} C．{(1,0)}

D．{(0,1)} π2x＋－2的图象F按向量a平移到F′，F′的函数解析式为y＝f(x)，当y14．函数y＝cos6第

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＝f(x)为奇函数时，向量a可以等于(

) ππ－，－2

B.－，2

A.66ππ，－2

D.，2

C.66

【归纳总结】

1．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：

2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．

2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

2．3.3 平面向量的坐标运算

答案

【知识梳理】

1．(1)互相垂直

(2)单位向量

xi＋yj

有序数对(x，y)

a＝(x，y)

(3)(x，y)

(x2－x1，y2－y1) 2．(1)(x1＋x2，y1＋y2)

(2)(x1－x2，y1－y2)

(3)(λx，λy) 【作业反馈】

1．D

2.D λ1＋2λ2＝3，λ1＝－1，3．D

[由解得] 2λ1＋3λ2＝4.λ2＝2.

14．C

[设P(x，y)，由(x－3，y＋2)＝×(－8,1)，

23∴x＝－1，y＝－.] 2→→→5．B

[∵AC＝AB＋AD，

→→→∴AD＝AC－AB＝(－1，－1)．

→→→∴BD＝AD－AB＝(－3，－5)．] 第

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→→6．D

[设D(x，y)，由AD＝BC，

∴(x－5，y＋1)＝(2，－5)．

∴x＝7，y＝－6.] 7．(－3,6) 118.

2→解析

∵AC＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，

→BD＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，

→→又2BD＝AC，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，

x＝2，2x－4＝－1，∴

解得2y－6＝2，

3y＝4，

11∴x＋y＝. 29．－1 →解析

∵A(1,2)，B(3,2)，∴AB＝(2,0)．

→又∵a＝AB，它们的坐标一定相等．

∴(x＋3，x2－3x－4)＝(2,0)．

x＋3＝2，∴2

x－3x－4＝0，

∴x＝－1. 10．(1，－1) 解析

函数y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y＝x2的顶点坐标为(0,0)，则a＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．

11．解

设c＝xa＋yb，

则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)＝(－2x＋3y,3x＋y)，

10＝－2x＋3y，∴

－4＝3x＋y，

解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b. →→12．解

(1)当平行四边形为ABCD时，AB＝DC，

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设点D的坐标为(x，y)．

∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，

1－x＝1，x＝0，∴

∴

∴D(0，－1)；

－2－y＝－1，y＝－1.

(2)当平行四边形为ABDC时，仿(1)可得D(2，－3)；

(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15)．

综上可知点D可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．

13．A

[设a＝(x，y)，则

x＝1P＝x，y|，

y＝m

∴集合P是直线x＝1上的点的集合．

同理集合Q是直线x＋y＝2上的点的集合，

即P＝{(x，y)|x＝1}，Q＝{(x，y)|x＋y－2＝0}．

∴P∩Q＝{(1,1)}．故选A.] ππ2x＋－2按向量a＝(m，n)平移后得到y′＝cos2x－2m＋＋n－14．B

[函数y＝cos66πππ2.若平移后的函数为奇函数，则n＝2，－2m＝kπ＋(k∈Z)，故m＝－时适合．] 626

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