小结教案3

期末复习资料之概率（教师版）

一、【知识网络图】

二、【知识点填空】

1．一般地，在一定条件S下，

一定会发生

的事件，叫做相对于条件S的必然事件。

在一定条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件。

在一定条件S下，

可能发生也可能不发生

的事件，叫做相对于条件S的随机事件。

随机事件A发生的概率p的范围是：0p1。

2．如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使样本出现的可能性最大”作为决策的准则，这种判断问题的方法称为

极大似然法

。

3．某小组3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：

①A:恰有1名男生与B:恰有2名男生；

②A:至少有1名男生与B:至少有1名女生；

③A:至少有1名男生与B:全是男生； ④A:至少有1名男生与B:全是女生；

其中是互斥事件的是 ①、④ （写出相应的序号即可）。

4．互斥事件分别发生的概率公式为：P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A、B互斥，那么事件A与B、A与B及事件A与B也都是互斥事件；

5.古典概型和几何概型

(1)．计算古典概型的基本步骤有：①判断试验结果是否为等可能事件；②求出试验包括的基本事件的个数mn，以及所求事件A包含的基本事件的个数m；③代入公式P(A)＝，求概率值．

n (2)．对一些较为简单、基本事件个数不是太大的概率问题，计数时只需要用枚举法即可计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，但应特别注意：计算时要严防遗漏，绝不重复．

(3)．取球模型是古典概型计算中的一个典型问题，好多实际问题都可以归结到取球模型上去，特别是产品的抽样检验，解题时要分清“有放回”与“无放回”，“有序”与“无序”等条件的影响． 6.几何概型

(1)．几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

(2)．在几何概型中，事件A的概率计算公式

P(A)＝__________________________________________________________________. 求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．

7．古典概型与几何概型的区别

(1)相同点：基本事件发生的可能性都是________；

(2)不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的；几何概型的基本事件是________，是不可数的．

三、【例题导讲】

1

[例1 .] 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次,考察以下事件: A“出现的点数小于2”;B“出现的点数大于4”;C“出现的点数小于5”; D“出现的点数大于3”;E“出现的点数为偶数”;F“出现的点数为奇数”. (1)写出其中所有的包含关系. (2)AB_________________;BC_______________;CE______________;

DF_________________;BE_______________;AB_____________. (3)其中互斥的事件有____________________________;对立的事件有__________.

解：(1)包含关系有AC,AF和BD.

(2)AB“出现的点数是1或5或6”;BC“出现任何点数”(必然事件) CE“出现的点数是2或4”;

DF“出现的点数是5”; BE“出现的点数为6”;

AB(不可能事件).

(3)互斥的事件有A与B;A与D;A与E;E与F共4对;对立事件有E与F共1对.

方法总结:互斥事件是一个重要概念,用事件的语言表达就是在同一试验下“不能同时发生”,用集合的语言表达就是“交集为空集”,而对立事件就相当于集合论中的“互补子集”.

[例2 ]某校高三为优生提供数学和物理超级培训,以提高优生的夺冠能力,每名优生可选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过数学培训的有60%,参加过物理培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (1)求1名优生参加过培训的概率; (2)任选3名优生,求这3人中至少有2人参加过培养的概率. 分析：在题设的两项培训中,每个优生都有3种选择方法:参加1项、两项或不参加培训.所以仅根据现有数据无法判断哪些是仅参加了一项培训,哪些是两项培训都参加了的.所以本题属于典型的计算和事件的题型. 解：用事件A表示“参加数学培训”,事件B表示“参加物理培训”,则AB表示“同时参加两项培训”.由条件,P(A)0.6,P(B)0.75,P(AB)0.60.750.45,事件A与事件B不互斥. (1)用BA表示“参加物理培训但不参加数学培训”,则P(BA)0.3,且BA与A互斥,于是. P(AB)P(A)P(BA)0.9另解.由容斥原理可推出P(AB)P(A)P(B)P(AB)(称为一般的概率加法公式),于是可得P(AB)0.9. (2)设事件C表示“3人中至少有2人参加培训”,事件C表示“3人中至多1人参加培训”.据(1),三人中无人32参加培训的概率是P.这两种情1(10.9)0.001,而三人中恰1人参加培训的概率是P230.90.10.027况互斥,故P(C)0.0010.0270.028,于是3人中至少有2人参加培训的概率是PC10.0280.972.

[例3]在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7.现在向该矩形内随机投一点P，求APB90时的概率. 解：由于是向该矩形内随机投一点P，点P落在矩形内的机会是均等的，故可以认为矩形ABCD是区域.要使得APB90，须满足点P落在以线段AB为直径的半圆内，以线段AB为直径的半圆可看作区域A.记“点P落在以线段AB为直径的半圆内”为事件A，于是求APB90时的概率，转化为求以线段AB为直径的半圆的2

000

面积与矩形ABCD的面积的比，依题意得，A1525，矩形ABCD的面积为35，故所求的概()2228255率为P(A)8.

3556点评：挖掘出点P必须落在以线段AB为直径的半圆内是解答本题的关键.

[例4.]将一个骰子先后抛掷2次,观察向上的点数.求下列事件的概率: (1)两数之和是3的倍数; (2)两数之和为质数. (3)第二次掷得的点数大于第一次掷得的点数. 解：基本事件总数为36. (1)记“两数之和是3的倍数”为事件A,则事件A包含的基本事件可分4类:和为3的有(1,2),(2,1)共2个;和为6的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共5个;和为9的有(3,6),(4,5),(5,4),(6,3) 共4个;和为12的有1个,于是事件A包含的基本事件数为12,从而P(A)121. 363(2)记“两数之和为质数”为事件B,则事件B包含的基本事件可分5类:和为2的1个,和为3的2个,和为5的4个,和为7的有6个,和为11的有(5,6),(6,5)共2个,于是事件B包含的基本事件数为15,从而P(B)155. 3612(3)记“第二次掷得的点数大于第一次掷得的点数”为事件C,则事件C包含的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15个,从而

P(C)

155. 3612x1xy20xy10[例5]．记不等式组表示的平面区域为M. （Ⅰ）画出平面区域M，并求平面区域M的面积；

（a，b）（Ⅱ）若点为平面区域M中任意一点，

求直线yaxb的图象经过一、二、四象限的概率. 31A（，）2）22、B（1,3）解：（Ⅰ）如图，△ABC的内部及其各条边就表示平面区域Ｍ，其中、C（1，， 152554

∴平面区域M的面积为22 (b) y （Ⅱ）要使直线yaxb的图象经过一、二、四象限，则a0，b0， B （a，b）又点的区域为M，故使直线yaxb的图象经过一、二、四象限的点（a，b）的区域为第二象限的阴影部分 3

A 1 ·1 ·O C x (a)

2P故所求的概率为

[例6]．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是4小时和6小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．

解：

设事件A＝{有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，以x轴和y轴分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则点(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形区域，如右图所示，

x＋4≥y，y＋6≥x，由已知得事件A发生的条件是0≤x≤24，0≤y≤24.11172225254

作出这个二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部2∵S正方形＝24＝576，

11S阴影214107222S阴影＝24－×20－×18＝214，∴P(A)＝＝＝. 22S正方形576288107所以，甲、乙两船有一艘停靠泊位时必须等待一段时间的概率为. 288分．

[例7]

袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号

为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球,取到标号是2的小球的概率是1. 2(1)求n的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b. ①记事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率; ②在区间[0,2]内任取两个实数x,y,求事件“xy(ab)恒成立”的概率. 解： (1)由题意可知:222n1解得n=2. 11n2(2)①不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为: (0,1)(021)(022)(10)(121)(122)(210)(211)(2122)(220)(221)(2221)共12个, 事件A包含的基本事件为:(021)(022)(210)(220)共4∴P(A)41. . 123②记“xy(ab)恒成立”为事件B,则事件B等价于“xy4”, (x,y)可以看成平面中的点, 则全部结果所构成的区域{(x,y)|0x20y2xyR}, 而事件B所构成的区域B={(x,y)|xy4(xy)}P(B)

[例8] 某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下: 4

2222222SB221

S224

产品编号

A1

A2

A3

A4

A5

质量指标(x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号

A6

A7

A8

A9

A10

质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, (1) 用产品编号列出所有可能的结果; (2) 设事件B为

“在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率.

四【典型习题导练】

1.如果A、B是互斥事件，那么（ ）B A.A和B必不互斥 B.A＋B是必然事件

C.A和B可能互斥 D.A＋B是必然事件

5

2．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(

)D 1113A.

B.

C.

D.

1210510

3．考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于(

)A A．1

B.

12C.

13D．0 abx4.利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a和b，则方程x＝－2a－有实根的概率为（ ） A.1112 B. C. D.

2433答案：B 解：方程x＝－2a－即x＋2ax＋ab＝0若方程有实根，则有Δ＝4a－4ab≥0，即b≤a，其所求概率可转1化为几何概率，如图，其概率等于阴影面积与正方形面积之比．∴P＝. 25．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师9的概率为，则参加联欢会的教师共有________人．120 2026.在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．

3

7．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则n是________．36

8.在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，则能输出数对(x，y)的概率是π________．

49.某种产品按质量标准分成五个等级,等级编号x依次为1,2,3,4,5.现从一批产品中随机抽取20件,对其等级编号进行统计分析,得到频率分布表: x 频率

1 a 2 0.2 3 0.45 4 b 5 c abx

22(1)若所抽取的20件产品中,等级编号为4的恰有3件,等级编号为5的恰有2件,求a,b,c的值; (2)在(1)的条件下,将等级编号为4的3件产品记为x1、x2、x3,等级编号为5的2件产品记为y1、y2,现从x1、x2、x3、y1、y2这5件产品中任取两件(假定每件产品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率. 解:(1)由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, 即a+b+c=0.35. 6

因为抽取的20件产品中,等级编号为4的恰有3件,所以b=错误！未找到引用源。=0.15. 等级编号为5的恰有2件,所以c=错误！未找到引用源。=0.1, 从而a=0.35-b-c=0.1, 所以a=0.1,b=0.15,c=0.1. (2)从产品x1、x2、x3、y1、y2中任取两件,所有可能的结果为(x1,x2),(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2),共10种. 设事件A表示“从产品x1、x2、x3、y1、y2中任取两件,其等级编号相同”, 则A包含的基本事件为 (x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2),共4种.故所求的概率P(A)=错误！未找到引用源。=0.4.

10.一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：

(1)取出1球是红球或黑球的概率；

(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．

解

方法一

(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，

5421则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，

12121212根据题意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得

543(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝. 12124(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为

54211P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝. 12121212方法二

(利用对立事件求概率) (1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为

213P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝. 12124111(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝. 12121阿11．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或355黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？

1212解

设事件A、B、C、D分别表示“任取一球，得到红球”，“任取一球，得到黑球”，“任取一球，得到1黄球”，“任取一球，得到绿球”，则由已知得P(A)＝，(3分) 35P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，

127

5P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，

1212P(B∪C∪D)＝1－P(A)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－＝. 33111解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝. 464111故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为，，. 464

12. 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．

(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；

(2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求独唱和朗诵由同一个人表演的概率．

解

(1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．

由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，因此这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．

用A1表示事件“连续抽取2人一男一女”，A2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A1与A2互斥，并且A1∪A2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A1的结果有12种，A2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得

P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2) 1227＝＋＝＝0.7，

202010即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7. (2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出. 第二次抽取

1 2 3 4 5 第一次抽取

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．

用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同5一个人表演的概率P(A)＝＝0.2. 25

13.汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：

轿车A 轿车B 轿车C 舒适型

100 150 z 标准型

300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．

8

(1)求z的值；

(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

解

(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，

5010由题意得＝，所以n＝2 000. n100＋300则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400. 400a(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得＝，即a＝2. 1 0005因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．

用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车．用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，

则基本事件空间包含的基本事件有：

(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7个．

77故P(E)＝，即所求概率为. 10101(3)样本平均数x＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9. 8设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有863个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率843为. 4

9