探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期精品学案

《函数y=Asin（ωx+φ）的图象》教学设计

设计理念

新课程的教学中，注重信息技术与数学课程的整合，注重以学生为主体，教师为主导的教学理念。本节课通过精心设计数学实验，创设实验情境，引导学生通过实验手段，经历数学知识的建构过程，体验数学发现的喜悦，发展他们的创新意识。倡导自主探究、动手实践等学习数学的方式，将传统意义下的“学习”数学改变为“研究数学”，使学生的数学学习活动变的主动而富有个性。

教学分析

本节倡导学生自主探究，在教师的引导下，通过图像变换和“五点作图法”来揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响，正确找出函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的图象变换规律，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图像变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映。

如何经过变换由正弦曲线来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢？通过对参数φ、ω、A的分类讨论，让学生深刻认识到图像变换与函数解析式变换之间的内在联系，通过引导学生对由函数ysinx到y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。

三维目标

一、知识与技能

1.理解三个参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响；

2.掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的变换关系。

二、过程与方法

1.通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求；通过在同一个坐标系内对比相关的几个函数图像，发现规律，总结提练，加以应用；

2. 经历对函数ysinx的图象到yAsin(x)的图象变换规律的探索过程，体会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想；培养学生全面分析、抽象、概括

的能力；培养学生研究问题和解决问题的能力。

三、情感态度与价值观

1.通过对问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；通过小组交流

，培养学生的合作意识；

2. 在解决问题的难点时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思维方式；

3. 在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。

重点难点

教学重点：用参数思想分层次、逐步讨论φ、ω、A变化时对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的形状和位置的影响，掌握由函数y=sinx到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程。

教学难点：图象变换与函数解析式变换的内在联系的认识。

关键：理解三个参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响。

教法学法

1、教学方法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论、反馈式评价

2、学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。

3、学法指导：

（1）以探究问题为载体，从几个具体的、简单的例子开始，通过学生动手作图实践，多媒体动画演示，

引导学生利用图形直观启迪思维，在自主探究、合作交流中，完成由特殊到一般的思维飞跃. （2）让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，主动参与知识的发生、发展过程，在探究的过程中激发学生的好奇心和创新意识,在探究过程中学习科学研究的方法,在探究过程中培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力. 4、教学手段：运用学案导学，多媒体辅助教学构建学生自主探究的学习环境。

教学用具:多媒体、实物投影仪

教学过程设计：整个教学过程是“以问题为载体，以学生活动为主线”进行的。

教学内容

师生活动

1 设计意图

一、创设情境，提出问题

问题1、同学们，在平静

的湖面上忽然吹过一阵教师提出问题，学生回通过学生熟悉的实际生活问微风，你会看到什么现答，一名学生在黑板上题引入，使学生了解函数象？你能将你观察到的画出图形，教师用多媒y=Asin(ωx+φ)在生产实践现象用图形画出来吗？体展示人浪图片。教师中的重要性，并对函数看到这个图形你联想到引导得出所画图形与y=Asin(ωx+φ)图象的特征我们数学中的那个函数正弦曲线的关系，引入有一个直观的印象,激发学图象？

问题2、运动会开幕式上的人浪形状与它类似吗？

二、合作探究，自我尝试

问题：你认为应该怎样讨学生思考讨论，教师引引导学生思考研究问题的方论三个参数φ、ω、A对导总结：先分别讨论参法，初步建立起探索本节课函数y=Asin（ωx+φ）的数φ、ω、A对函数图内容的程序与轮廓。

图象的影响？

象的影响，再整合为对函数y=Asin（ωx+φ）图像的整体考察。

探究一、对

函数学生动手画图，思考讨将学生置身于符合自身实际y=sin(x+ )的图象有什论，自主探究，大胆猜的学习活动中去，从自己的么影响？

想。教师用实物投影仪经验和已有的知识基础出课题。

生研究该函数图象的兴趣。同时也体现数学来源于生活的思想。

例1：画出函数 y=sin 展示学生作品，并用计发，掌握五点作图法，以及(x+ ),x∈R 的简图。算机演示作图过程，以利用平移变换法作出函数并探究它的图象与及图象的动态变换过y=sin(x+ )简图的方法。引y=sinx图象的关系。

程。

导学生观察y=sin (x+ )33思考1：一般地,函数

的图象与ysinx图象间的变ysin(x)的图象和函学生思考、讨论并给出换关系，获得对

函数数ysinx图像的关系是回答，教师补充。

2 y=sin(x+ )的图象的影响

什么？

思考2：一般地,函数【结论1】：函数的具体认识。

ysin(x)的图像引导学生通过自己的概括认yf(x)的图象和函可由函数ysinx的图识对函数y=sin(x+ )的数yf(x)图像的关系是像向左(0)(0向图象的影响。并推广到对一什么？

右)平移||个单位而般的函数图像变换与函数解练习1：已知函数得到。这种变换称为平析式变换之间的关系的影

移变换。

y3sin(x)的图象为C，5为了得到函数y3sinx的

图象，只要把C上所有的

点( ) A、向右平行移动位

B、向左平行移动位

C、向右平行移动位 D、向左平行移动位

2个单52个单5响，经历“数学化”、“再创造”的活动过程。体会由特殊到一般的化归思想，渗透数形结合的思想，让学生的思维得到进一步的发展。为

个单5个单5

学生思考、讨论、口答，很好的解决本节课的重点奠教师点评。

定基础。

一题两解，培养学生应用逆向思维解决数学问题的思维方式，巩固熟悉平移变换对函数图像的影响，培养学生灵活应用知识解决问题的能力。

探究二、你能用上述方法学生动手画图，思考讨在学生已有认知结构的基础x)来研究ω对ysin(论，自主探究，大胆猜上再次提出问题，应用类比想。教师用实物投影仪的方法探究参数对函数ysin(x)的图象的影响吗？

例2、作出函数展示学生作品，并用计的图象的影响，ysin(2x)的简图，并3算机演示作图过程，以使得学生能够对所学习的方探究它的图象与及图象的动态变换过法、知识有更加深刻的认识，ysin(x3)图象间的关程。

巩固已有的经验。

系。

学生思考、讨论并给出

应用类比的方法引导学生自思考1：一般地,函数回答，教师补充。

ysin(x)

的图象和函【结论2】：

3 一般

数ysin(x)图象的关系地，函数是什么？

ysin(x)xR己概括认识对函数ysin(x)的图象的影响。思考2：一般地,函数（0,1）的图象可并推广到对一般的函数图yf(x)yf(x)的图象和函数以看作把ysin(x)图象像变换与函数解析式变换之上所有间的关系的影响，体会由特殊到一般的化归思想，渗透图像的关系是什么？

点的横坐标缩短（1练习2：已知函数时）或伸长（01时）数形结合的思想，让学生的y3sin(x5)的图象为C，到原来的1倍（纵坐思维得到进一步的发展。

为了得到函数标不变）而得到的。这

1只y3sin(x)的图象，25种变换称为周期变换。

巩固熟悉周期变换对函数图像的影响，培养学生灵活应用知识解决问题的能力。

要把C上所有的点

( )

A、横坐标伸长到原来的2

倍，纵坐标不变

B、横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

12

C、纵坐标伸长到原来的2学生口答，教师点评。

倍，横坐标不变 D、纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变

探究三、类似的，你能研学生独立或小组合作学生独立或小组合作进行研究A对yAsin(x)的图象的影响吗？

例3、作出函数y3sin(2x)的简图，3并探究它的图象与ysin(2x)图象间的3关系。

进行研究，教师适当指究，教师适当指导。学生交导。学生交流讨论结流讨论结果，教师用实物投果，教师用实物投影仪影仪展示学生作品，并用计展示学生作品，并用计算机演示作图过程，以及图算机演示作图过程，以象的动态变换过程。

及图象的动态变换过在学生已有认知结构的基础程。

上再次提出问题，应用类比的方法探究参数A对函数4

12

思考1：一般地,函数

yAsin(x)的图象学生思考、讨论并给出yAsin(x)的图象的影x)图像回答，和函数ysin(教师强调语言的响，使得学生能够对所学习的关系是什么？

准确性。

的方法、知识有更加深刻的认识，巩固已有的经验。

应用类比的方法引导学生自己概括认识A对函数yAsin(x)的图象的影思考2：一般地,函数【结论3】：一般地，yAf(x)yf(x)的图象和函数函数yAsin(x)，xR(A0,A1)的图像的关系是什么

练习3：已知函数图象可看作把y3sin(x)的图象为C，5ysin(x)图象上所响。并推广到A对一般的函数图像变换与函数解析式变换之间的关系的影响，体会为了得到函数有点的纵坐标伸长y4sin(x5)的图象，只（A>1时）或缩短要把C上所有的点（0

C、纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变 D、纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变

34A倍（横坐标不变）而渗透数形结合的思想，让学43得到。因此，yAsin(x)，xR生的思维得到进一步的发展。

34的值域是-A,A，最大

值为A，最小值为巩固熟悉振幅变换对函数图43-A．这种变换称为振幅像的影响，培养学生灵活应变换。

学生口答，教师点评。

用知识解决问题的能力。

三、归纳整合、

抽象概括

问题1：通过前面的学习，以具体的例子为载体

你能回答出函数y=sinx引导学生用准确的数

的图象经过了哪些图象学语言描述由函数

变换可以得到函数y=sinx的图象到函数

y3sin(2x)的图y3sin(2x)的图象

33象？

的变换过程，教师用多

问题2：你能得出函数媒体演示图象的动态

5

再层层推进

yAsin(x)的图象变化过程。与y=sinx的图象之间的推广到一般情况。

关系吗？

有效的数学学习过程，不能结论：一般地,函数单纯的模仿与记忆，数学思结论：一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中维的领悟和学习过程更是如y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可此。让学生在解题过程中亲A>0,ω>0)的图象,可以以看作用下面的方法身经历和实践体验，通过师看作用下面的方法得到:得到:先画出函数y＝生互动学习，生生合作交流，先画出函数y＝sinx的图sinx的图象;再把正共同探究，发展思维，总结象;再把正弦曲线向左弦曲线向左(右)平移|规律，得出结论，进一步体(右)平移|φ|个单位长φ|个单位长度,得到会由简单到复杂，由特殊到度,得到函数y=sin(x+函数y=sin(x+φ)的一般的化归思想，让学生的φ)的图象；然后使曲线图象；然后使曲线上各思维得到进一步的深化。

上各点的横坐标变为原点的横坐标变为原来来的

1倍,得到函数的

1倍,（纵坐标不y=sin(ωx+φ)的图象；变）得到函数最后把曲线上各点的纵y=sin(ωx+φ)的图坐标变为原来的A倍,这象；最后把曲线上各点时的曲线就是函数的纵坐标变为原来的y=Asin(ωx+φ)的图象. A倍,（横坐标不变）问题3：如何由函数这时的曲线就是函数yf(x)的图象得到函数y=Asin(ωx+φ)的图的图象？

象。

yAf(x)四、知识整理，拓展深化

问题：（1）这节课你学到学生小结，相互补充，知识整理，凝炼提高，形成了什么？

（2）你又掌握了哪些数学思想方法？

五、布置作业，提高升华

1、阅读课本P49-P53

教师强调。

系统，拓展深化

6 通过作业（1），使学生养成

2、书面作业：

先看书，后做作业的习惯.书必做：P57 1、2 (3)、学生课后独立思考完面作业的布置实行弹性布(4) 选做：讨论2 (3)、(4)的性质

3、课后思考：由函数y=sinx的图象到函数yAsin(x)成。

置，使学生在完成基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间。课后思考题起到承上启下的作用，既是本节课知识的灵活应用，又为下节课的学习起到了铺垫，既发展了学生的学习潜能，又激发了学生的学习兴趣，促进了学生的自主发展。

的图象还有其他变换方法吗？

六、板书设计

课题

对

函数y=sin(x+ )的图象的影响 三、 A对yAsin(x)的图象的影响

一、x)的图象的影响 四、x)与函数y=sinx二、ω对ysin(函数yAsin(的图象之间的关系

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