习题训练教学设计与反思

勾股定理复习

W

一．选择题（共3小题）

1．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（

）

A．5

B．

C．

D．5或

2．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使顶点C恰好落在顶点A处，已知AB＝4cm，AD＝8cm，则折痕EF的长为（

）

A．5cm

B．cm

C．2cm

D．cm

3．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C的度数为（

）

A．135°

B．120°

C．90°

D．105°

二．填空题（共6小题）

4．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为

．

5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，BC＝5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为

．

6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是

．

第1页（共10页）

7．如图OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝＝1，连接OP2，得OP2＝22，再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；依此法继222续作下去，得OP1+OP2+OP3+OP4+…+OPn＝

．

8．如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点在格点上，则△ABC中AB边上的高为

．

9．如图点P是等边三角形ABC内部一点，且PA＝2，PB＝2是

度．

三．解答题（共1小题）

10．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？

，PC＝4，则∠APC的大小第2页（共10页）

勾股定理复习

参考答案与试题解析

一．选择题（共3小题）

1．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（

）

A．5

B．

C．

D．5或

【分析】本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．

【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，

（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为故选：D．

【点评】题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析．

2．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使顶点C恰好落在顶点A处，已知AB＝4cm，AD＝8cm，则折痕EF的长为（

）

，

A．5cm

B．cm

C．2cm

D．cm

【分析】依据翻折的性质可得到AE＝EC，设BE＝x，则AE＝EC＝8﹣x，在Rt△ABE中，依据勾股定理可求得x的值，则可得到BE、AE的长，然后再证明AE＝AF＝5，从而可求得EH的长，最后在Rt△EFH中，依据勾股定理可求得EF的长．

【解答】解：如图所示：过点F作FH⊥BC，垂足为H．

由翻折的性质可知AE＝EC．

设BE＝x，则AE＝EC＝8﹣x．

在Rt△ABE中，依据勾股定理得：4+x＝（8﹣x），解得：x＝3．

∴BE＝3，AE＝5．

由翻折的性质可知：∠AEF＝∠CEF．

∵AF∥BH，

∴∠AFE＝∠FEC．

第3页（共10页）

222

∴∠AFE＝∠AEF．

∴AF＝AE＝5．

∴BH＝5．

∴EH＝2．

∵HF＝AB＝4．

∴EF＝故选：B．

＝2．

【点评】本题主要考查的是矩形的性质、翻折的性质、勾股定理的应用，求得EH、FH的长是解题的关键．

3．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C的度数为（

）

A．135°

B．120°

C．90°

D．105°

【分析】连接EE′，如图，根据旋转的性质得BE＝BE′＝2，AE＝CE′＝1，∠EBE′＝90°，则可判断△BEE′为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得EE′＝BE＝2，∠BE′E＝45°，在△CEE′中，由于CE′+EE′＝CE，根据勾股定222理的逆定理得到△CEE′为直角三角形，即∠EE′C＝90°，然后利用∠BE′C＝∠BE′E+∠CE′E求解．

【解答】解：连接EE′，如图，

∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBE′，

第4页（共10页）

∴BE＝BE′＝2，AE＝CE′＝1，∠EBE′＝90°，

∴△BEE′为等腰直角三角形，

∴EE′＝BE＝2，∠BE′E＝45°，

，

在△CEE′中，CE＝3，CE′＝1，EE′＝2∵1+（222）＝3，

2222∴CE′+EE′＝CE，

∴△CEE′为直角三角形，

∴∠EE′C＝90°，

∴∠BE′C＝∠BE′E+∠CE′E＝135°．

故选：A．

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质和正方形的性质．

二．填空题（共6小题）

4．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为

5

．

【分析】根据等腰三角形的性质可知BC上的中线AD同时是BC上的高线，根据勾股定理求出AB的长即可．

【解答】解：∵等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC上的中线，

∴BD＝CD＝BC＝3，AD同时是BC上的高线，

∴AB＝故答案是：5．

＝5．

第5页（共10页）

【点评】本题考查勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出中线AD是BC上的高线，难度适中．

5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，BC＝5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为

．

【分析】首先利用勾股定理计算出BD的长，再根据折叠可得AD＝A′D＝5，进而得到A′B的长，再设AE＝x，则A′E＝x，BE＝12﹣x，再在Rt△A′EB中利用勾股定理可得方程：（12﹣x）＝x+8，解出x的值，可得答案．

【解答】解：∵AB＝12，BC＝5，

∴AD＝5，BD＝＝13，

222根据折叠可得：AD＝A′D＝5，

∴A′B＝13﹣5＝8，

设AE＝x，则A′E＝x，BE＝12﹣x，

在Rt△A′EB中：（12﹣x）＝x+8，

解得：x＝故答案为：，

．

222【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是

3

．

第6页（共10页）

【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，

∴BC⊥AB．

∵四边形ADCE是平行四边形，

∴OD＝OE，OA＝OC．

∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD＝AB＝1.5，

∴ED＝2OD＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

7．如图OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝＝1，连接OP2，得OP2＝22，再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；依此法222继续作下去，得OP1+OP2+OP3+OP4+…+OPn＝

．

【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．

【解答】解：∵OP1＝由勾股定理得：OP2＝，

＝，

第7页（共10页）

OP3＝…

OPn＝2＝，

，

2222∴OP1+OP2+OP3+OP4+…+OPn＝2+3+4+5+…+n+1＝故答案为：．

．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．

8．如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点在格点上，则△ABC中AB边上的高为

．

【分析】由已知可得到三角形各边的长，从而根据勾股定理可求得BC边上的高，再根据面积公式即可求得AB边上的高的长．

【解答】解：由图知，△ABC是等腰三角形，过点C作CD⊥AB于点D，

∵AB＝AC＝＝，BC＝，

∴BC边上的高为＝设CD＝h，

∴S△ABC＝×∴h＝．

×＝×＝，

h，

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用．

第8页（共10页）

9．如图点P是等边三角形ABC内部一点，且PA＝2，PB＝2是

120

度．

，PC＝4，则∠APC的大小

【分析】由于△ABC为等边三角形，所以将△ABP绕A点逆时针旋转60°得△ACP′，根据旋转的性质得到AB与AC重合，∠PAP′＝60°，AP′＝AP＝2，P′C＝PB＝2，则△APP′是等边三角形，得到PP′＝2；在△PPC中，利用勾股定理的逆定理可得到∠PP′C＝90°，同时得到∠P′CP＝30°，因此∠P′PC＝60°，即可得到APC＝∠APP′+∠P′PC．

【解答】解：∵△ABC为等边三角形，

则将△ABP绕A点逆时针旋转60°得△ACP′，如图，连PP′

∴AB与AC重合，∠PAP′＝60°，

∴AP′＝AP＝2，P′C＝PB＝2∴△APP′是等边三角形，

∴PP′＝2，

在△PPC中，PP′＝2，P′C＝2∴PP'+P′C＝16＝PC

∴∠PP′C＝90°，∠P′CP＝30°，

∴∠P′PC＝60°

所以∠APC＝∠APP′+∠P′PC＝120°．

故答案为120．

222，

，PC＝4，

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线第9页（共10页）

段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质和勾股定理的逆定理以及在直角三角形中一直角边等于斜边的一半则这条直角边所对的角为30度．

三．解答题（共1小题）

10．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？

【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可．

【解答】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，

∵BC＝20尺，AC＝5×3＝15尺，

∴AB＝＝25（尺）．

答：葛藤长为25尺．

【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．

第10页（共10页）