1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）教学设计(教案)

1.2 湘教版直角三角形的性质和判定（Ⅱ）

涟源市蓝溪学校 刘晓辉

一、

教材分析

（一）教材地位与作用

勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的。在教材中起到承上启下的作用，为下面学习勾股定理的逆定理作了铺垫，为以后学习“四边形”和“解直角三角形”奠定基础。勾股定理的探索和证明蕴含着丰富的数学思想和科学研究方法，是培养学生具有良好思维品质的载体。它在数学的发展过程中起着重要的作用。勾股定理是一坛陈年佳酿，品之芬芳，余味无穷，它以其简洁优美的形式，丰富深刻的内涵刻画了自然界和谐统一关系，是数与形结合的优美典范。

（二）教学目标

知识技能

了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。

数学思考

在勾股定理的探索过程中，体会数形结合思想，发展合情推理能力。

解决问题

1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。

2．在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结果。

情感态度

1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。

2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。

（三）教学重点及难点

重点：经历探索及验证勾股定理的过程。

难点：用拼图的方法证明勾股定理。

（四）教学媒体准备 教学媒体：多媒体课件。

学具准备：方格纸（老师准备）、4个全等的直角三角形（学生6人一组，分组准备）。

二、教法与学法分析

教法分析:八年级学生经过几何学习，几何图形的观察、几何证明的理性思维能力已初步形成。因此在教学中要力求实现以教师为主导，以学生为主体，

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以知识为载体，以培养学生的“思维能力，动手能力，探究能力”为重点的教学思想。尽量为学生创设“做数学、玩数学”的情境，让学生从“学会”到“会学”，使学生真正成为学习的主人。

学法分析:八年级学生生活经验积累较少，缺乏严谨的逻辑推理能力。所以在探索勾股定理时，主要通过直观的，乐于接受的拼图法去验证勾股定理。“操作＋思考”的方式符合八年级学生认知水平，适应其思维发展规律及心理特征。让学生感悟到：学习任何知识的最好方法就是自己去探索，在探索中领悟、在领悟中理解，让他们“学会学习”。

评价手段：（一）学习过程

（1）参与数学活动程度，合作交流意识

（2）学生发现问题，解决问题能力

（二）知识应用：实践题、习题精选、作业题、拓展题

三、教学过程

（一）情景引入

国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明妈妈买了一部42英寸（106厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有85厘米长和64厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？

（二）猜想直角三角形直角边斜边的关系

（见PPt展示）

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3

4

（三）勾股定理的几种证明方法

1、动手做一做：

步骤1 先剪出4个直角三角形，由于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中b>a）,于是它们全等，从而它们的斜边长相等，设斜边长为c。 步骤2 再剪出1个边长为c的正方形。 步骤3 把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图所示的图形。 提示：先证明∠DHK+ ∠EHI=90度，则∠DHK+ ∠KHI+ ∠EHI=180度，则证明E、I、F三点在一条线上，同理E、I、F，F、J、K，J、K、D三点在一条直线上，因此拼成的图形是正方形，根据四个直角三角形的面积+小正方形面积=大正方形面积相等得证。

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2、总统巧证勾股定理

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此这一性质被称为勾股定理

。

直角三角形的性质定理：

直角三角形两直角a,b的平方和，等于斜边c的平方.（简称勾股定理）

c2=a2+b2 （四）勾股定理的简单应用

1、已知△ABC的三边分别是a，b，c，若∠B=90度，则有关系式（ ）

A.a2+b2=c2

B.a2+c2=b2

C.a2-b2=c2

D.b2+c2=a2

B C

6

2、求图中直角三角形的未知边的长度。

8

15

17

6 3、在Rt△ABC中，∠C=900 （1）若a=5，b=12，

则c =______. （2）若c=4，b= 2

，则a =______.

思考：

4、如图：在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD ⊥BC于点D。你能算出BC边上的高AD的长吗？

A

B

D

C

6、解决情景引入中的问题

（五）课堂小结

内容总结

（1）运用勾股定理的条件是什么？

（2）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？

（3）勾股定理有什么用途？

方法总结：

用直角三角形三边表示三个正方形面积——观察归纳发现勾股定理——任意画一个直角三角形，再验证自己的发现。

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（六）作业布置

1、课本P11

练习

2、求下列直角三角形中未知边的长:

5

17

16

8

12

20

3、一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，

树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？

（七）课外拓展

1、勾股定理的由来：

这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉

斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。

在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。“什么是”勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。

毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几

里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》

时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个

定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。（为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．）

2、勾股定理的证明：

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勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。

在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

现在在网络上看到较多的是16种,包括前面的6种,还有: 欧几里得证明、 利用相似三角形性质证明、

杨作玫证明、 李锐证明、

利用切割线定理证明、 利用多列米定理证明、

作直角三角形的内切圆证明、利用反证法证明、

辛卜松证明、 陈杰证明。

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