阅读与思考 向量及向量符号的由来名师教学设计2

人教版

必修4 第二章

平面向量

“2.1平面向量的实际背景及基本概念”教学设计

一、教学内容及其地位分析

本节内容主要涉及平面向量的基本概念，平面向量的合理表示，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量等特殊向量或具有特殊关系的一些向量的基本概念。所以本节课是一堂概念课。

向量是近代数学发展史上出现的重要的量，是沟通代数、几何、三角函数的桥梁，是数学和物理应用中的有力工具。所以向量是高中数学教学的重要内容。而本节内容是平面向量的开篇之作，是建立起向量概念的核心章节，是学好平面向量的基础，所以其重要性不言而喻。

二、学生学情分析

（一）学生已有基础和认知

1、学生在物理学中已经知道力，位移，速度，加速度等既有大小又有方向的量，而且知道位移用由初始位置指向末位置的有向线段来表示，也知道力用带有箭头的线段来表示。学生能够判断和识别实际生活中哪些量既有大小又有方向，哪些量只有大小没有方向。

2、学生对实数的认识和学习过程有一些了解，大体知道人类认识数的过程是“提出概念，符号表示，认识特殊，运算处理，认识一般，……”。

3、有一定的类比联系，抽象推广的能力。

（二）学生欠缺的能力和认知以及教学重难点分析

学生尚处在高中的起始年级，类比，抽象的能力不够，对概念的辨析能力不强，利用概念指导思维和判断的习惯尚未形成。因此本节内容的重点在于理解基本概念，形成研究套路。本节内容的难点在于：

（1）从现实生活中抽象出向量的概念，体会概念的生成过程。

（2）联系力的的表示得到向量的合理表示。

（3）类比实数的学习过程体会向量的研究套路和过程，最终形成数学上对一种新的量的研究套路和过程。

三、教学目标

（一）知识和能力目标

1、理解向量的概念。

2、掌握向量的表示方法。

3、通过类比实数以及实数间的关系，类比两条直线的位置关系理解零向量，单位向量，平行向量，共线向量，相等向量等概念。

4、在学习过程中，培养观察，分析，抽象，类比，推广，归纳等能力. （二）过程与方法目标

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1、能体会研究一种新的量的基本套路，能体会认识数学新对象的基本方法。

2、通过对向量的概念，表示以及特殊向量的学习，让学生感受到类比的思想和联系的观点是科学探究的常用思想与方法。

（三）情感、态度、价值观目标

1、通过从现实情境中抽象出向量的概念，让学生体会数学来自于生活，体会数学是自然的。

2、学生经历用有向线段以及符号表示向量的过程，体会数学的形象直观和数学的简洁美。

3、体会研究数学问题的基本套路，提高学生“提出问题，解决问题的能力”。

四、教学方法与策略

教学方法：启发式教学，探究式教学，合作式教学，多媒体辅助教学。

教学方法的分析：

1、学生已经知道物理中的矢量，知道力的表示方法，能判别一些量的方向和大小。故在向量概念的生成和表示上采取从现实生活和物理情境中引导学生认识既有大小又有方向的量，让学生自主探究，小组合作得到向量的概念和表示。

2、在认识特殊向量“零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量”的时候，由于学生已经知道实数中的数字0和1的特殊性，知道实数的相等关系，知道两条直线的位置关系，所以可以让学生自己类比，采用让学生自主探究，大胆猜想，勇于尝试，小组交流等方法进行学习。

五、教学过程

本设计之下的教学过程共有以下几个大步: （一）创设情境，引出概念

（二）抓住本质，抽象定义

（三）合作探究，形象展示

（四）类比联系，特殊入手

（五）勤动手脑，升华概念

（六）小结提炼，汇聚思维

（七）完成作业，及时巩固

（八）课后反思，提升教学：

师（开场）:在近代数学的发展历史上，有一种相当重要的量，它是沟通代数，几何，三角函数的桥梁，是数学和物理应用中的重要工具.它就是我们今天要学习的向量.下面请看平面向量第一节“平面向量的实际背景及基本概念”.

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【设计意图】说明向量的重要性，引起学生的注意.

（一）创设情境，引出概念

师（放PPT）：请看情境一：“南辕北辙”的故事，大家听过吗? 生：……

师：结果肯定是背道而驰，原因是他没有注意方向. 师（放PPT）：再看情境二，如果你正站在点A处，怎么描述点B相对于自己的位置呢？

预生1：先右走两步，再向上走两步，……

预生2：B点在A点的北偏东45度方向，距离A处22米. 预生3：以A为原点建立坐标，则点B的坐标为2,2. 师（放PPT）：老师是这样描述的：点B在A处的东北方向，距离A处22米. 刚才大家的描述都是正确的，而且都关注到了大小和方向. 师（放PPT）：再看情境三，如图所示，平直的石板上放着一辆小轿车，你能对小车做简单的受力分析吗？

生：小车受到重力，支持力（弹力），

师：（放PPT）对的，小车受到竖直向下的重力，也受到竖直向上的支持力，而且它们大小相等，方向相反. 师：力是既有大小又有方向的量，还有类似于上述例子的既有大小又有方向的量吗？（放PPT）. 生：速度，加速度，位移……（放PPT）. 师（放PPT）：你能说出生活中的只有大小没有方向的量吗？

生：温度，体积，身高，年龄……（放PPT）.

【设计意图】通过生活中的情境以及物理中的力让学生体会到这些量既有大小，又有方向.从而为引出向量的概念做铺垫. （二）抓住本质，抽象定义

师：只有大小没有方向的量我们已经学过很多，比如数字1，2，3，类比于我们从生活中的一支笔，一本书，一个人抽象出只有大小没有方向的数字1，我们把生活中的既有大小又有方向的量抽象成为一种新的量——向量. 师（放PPT）：你能给向量下一个定义吗？

生：既有大小又有方向的量. 师（放PPT）：向量（板书“一、向量定义：大小、方向”）

师（放PPT）：数学上，我们把既有大小又有方向的量称为向量，物理中又称为矢量. 师（放PPT）：把只有大小没有方向的量成为数量，物理中又称为标量. （三）合作探究，形象展示

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师：数学上，一般我们得到一个新的量之后，要研究这个量的表示方法.那么，向量怎么表示呢？师（放PPT）（板书“二、向量表示：”）.请大家以小组为单位思考，讨论.然后，每个小组推选一个同学上来展示你们的成果.

【设计意图】学生得到向量概念之后，联系物理中力和位移的表示来表示向量，通过小组交流与合作，得到多种合理的表示方式.学生上台展示，让学生真正的参与课堂思考.教师加以引导，让其表示合理，简洁.

预生1：画出力的表示，标出箭头和大小.教师表扬学生，物理学得不错，表示出了“力”这种向量，而数学上研究的是一般的问题，你能从力的这种表示中提炼出一般向量的表示吗？

预生2：直接画出一个有向线段表示.但是没有标明起点与终点.教师追问：“你是怎么想到这样表示的呢？”，“这样的表示如何反映出向量的大小和方向”？

预生3：直接画出一个有向线段表示.标明起点与终点.教师表扬：不仅给出了几何表示，还标明了起点与终点，这样从A到B形成的向量就可以记为AB，这样就可以用一个简洁的符号表示向量了.这位同学真了不起. 预生4：学生讨论之后仍然没有表示方法.教师引导，大家回忆物理中的从初始位置到末位置的位移是用什么表示的？你能画出图形说明吗？

师：其实刚才大部分的同学的想法都跟历史上伟大的数学家和物理学家牛顿的想法一样，用有向线段来表示向量.牛顿是历史上第一个用有向线段来表示向量的人.所以，同学们，只要我们肯思考，我们也会像牛顿一样伟大. 师（放PPT）：数学上，用有向线段来表示向量.为了表达的方便与简洁，我们还要给它符号的表示.师（放PPT），从A到B形成的向量记为：AB（起点在前，终点在后，加上箭头，和线段AB相区别），更简洁的，也可以用一个小写字母a来表示（注意手写体和印刷体的区别）.（板书：“AB或a”）

师（放PPT）：线段AB的长度表示向量的大小（向量AB的模），记为ABAB.刚刚我们提到了有向线段，因为数学是严谨的，所以我们要对有向线段做一个准确的说明：有向线段有三个要素。师：起点，方向，长度.两条有向线段要相等，必须三要素都相同.（教师黑板上画出两条有向线段加以说明）

【设计意图】对于学生来讲，向量是一种全新的量，第一次接触时，教师有必要作准确的陈述与说明，并加以强调.

师（放PPT）：思考：向量AB与BA是同一个向量吗？为什么？

师：他们有什么关系？

生：大小相等，方向相反. 师：我们称这样的向量为相反向量.

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【设计意图】进一步让学生理解向量的方向.为后续学习相反向量埋下伏笔.

（四）类比联系，特殊入手

师：有了向量的表示之后，我们来对向量作进一步的研究与认识.怎么研究呢？我们采用类比联系的方法，从特殊入手进行研究. 师（放PPT）：大家认为，向量这个大家庭里，哪些向量会比较特殊呢？（板书：“三、特殊向量：”）

师（放PPT）：（1）类比实数中的特殊数字0和1，你觉得向量中会有哪些特殊向量？再一次小组合作，大胆猜想，勇于尝试.

【设计意图】学生合作探究，大胆猜想，让学生感到所学知识就是自己所能想到的，感到数学是自然的.

预生1：起点和终点重合，长度为零.教师引导，这样的向量叫做零向量.追问：你能给零向量下一个定义吗？师（放PPT）.读零向量的概念与记法. 预生2：学生回答不出零向量.教师引导，数量中有特殊数字0，向量中会不会有特殊向量零向量呢？如果有，它该怎么定义呢？

师（放PPT）：零向量，长度为零的向量为零向量.（板书：零向量0）

师：零向量的方向呢？

生：任意方向（如果回答不出，教师引导，起点和终点重合的向量方向怎么规定呢？）

师（放PPT）：类比特殊数字1还可以得到单位向量.教师读单位向量的概念和记法. 师（放PPT）：平面上，所有起点相同的单位向量的终点构成的图形是什么？

生：圆（教师进一步说明，半径为1的圆，单位圆）

师（放PPT）：（2）从向量的形的角度，你认为向量之间会出现哪些比较特殊的位置关系？

生：平行，垂直，相交，重合，……

师：对，大家所想的就是我们将要研究和学习的内容，垂直这种特殊关系会放到后边再学习，今天我们先学***行.师（放PPT）. 师：你认为应该怎样给平行向量下定义呢？

预生1：方向相同.教师提问：方向相反的时候呢？

师（放PPT）：我们把方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.师（放PPT），阅读符号记法.（板书“平行向量：”）

师（放PPT）：请看如图，两向量a和b平行吗？再看图，两个a和b平行吗？说说你的理由. 预生1：不平行，因为他们是重合的.教师问，他说得对吗？

预生2：平行，按照定义就可以判断.教师表扬学生，你的思维很严谨. 师：所以对于向量来讲，共线的时候也可以说它们是平行的. 师：零向量呢？规定，零向量与任意一个向量平行.记为：0//a

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师（放PPT）：（3）类比两个实数间相等，大于，小于三种关系，你认为向量之间也会存在这三种关系吗？请大家再一次小组交流与合作，等会儿展示你们的成果.

【设计意图】让学生自己发现向量带有方向，集数与形于一身，所以不存在一个向量大于另一个向量的说法，更进一步突出向量与数量的区别.

预生1：向量可以相等……教师表扬，教师追问，向量间存在一个向量大于另一个向量吗？

预生2：不知道.师引导如果两个向量大小相等，方向相同，你认为他们之间应该是什么关系？

师（放PPT）：相等向量，大小相等方向相同的向量.如图所示，阅读记法.（板书“相等向量”）

师（放PPT）：思考，如果两个向量相等，他们对应的起点和终点必须要重合吗？说说你的理由.

【设计意图】引导学生发现向量是自由向量，发现向量的平行不等同于两条直线的平行.

预生1：要重合，师：大家认为他说得正确么？

预生2：不需要重合，只需要大小相等，方向相同.教师表扬. 师（放PPT）：所以，如图所示的向量，两个向量可以平移到一条直线上.于是，师（放PPT），向量是自由向量，可以平行移动，与起点无关.因为所有的平行向量都可以平移到一条直线上来，所以平行向量也叫共线向量.（平行向量后面板书：“共线向量”）

（五）勤动手脑，升华概念

师：上述内容就是我们本节课的重要知识点.下面，勤动手脑.请看例1.师（放PPT）. 例1、如图所示，图中小正方形的边长为1. （1）图中的相等向量有哪些？

QPCDF（2）图中的单位向量有哪些？

（3）图中MN的模长为多少？

（4）图中与AB平行的向量有哪些？

ABEGHN

M

【设计意图】从形上巩固刚刚得到的相等向量，单位向量，模长，平行向量等概念.

例2、判断下列说法是否正确？

（1）若ab，则ab. （2）若a,b都是单位向量，则ab.

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（3）若a//b,b//c，则a//c.

【设计意图】从符号，文字表述上再次巩固基本概念.

例3、中国象棋中规定：马走“日”字，如下图所示是中国象棋的半个棋盘.若马在A处，可跳到A1处，也可以跳到A2处，用向量AA1或AA2表示马走了一步，试在图中画出马在B,C处各走一步的所有情况.

C

A2

A1

AB

【设计意图】以中国象棋盘为题目背景，激发学生学习的兴趣，让学生感受到，学习就在生活中，通过马的走法让学生感知向量具有大小和方向二重属性. （六）小结提炼，汇聚思维

本节课你收获了什么？

你还有什么疑惑吗？

继续使用类比联系的观点与方法，你预见一下后面我们还会学习向量的哪些知识？

（七）完成作业，及时巩固

教材P77-78页：A组习题第1、3、4题，B组习题第2题

（八）课后反思，提升教学：

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