2.1.2 向量的几何表示课件配套优秀教案案例

2.1

平面向量的实际背景及基本概念

2.1.1 向量的几何表示

备课教师：郭勇

一、教学目标：

1．知识与技能

(1)了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示．

(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．

(3)学会区分平行向量、相等向量和共线向量．

2．过程与方法

通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别．

3．情感、态度与价值观

通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力．

二、教学重难点：

重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．

难点：向量的概念，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．

三、教学准备、教学资源和主要教学方法：

问题学习法、自主学习与合作探究相结合。

四、教学流程：

（一）情景导入

【问题导思】

1．在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？

【提示】

面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．

2．有向线段就是向量，向量就是有向线段，对吗？为什么？

【提示】

不对．有向线段是一个几何图形，具有起点、大小、方向三要素构成；而向量只有大小和方向两要素，因此二者是两个完全不同的概念．

〈设计意图〉创设情境，激发学生的求知欲。

（二）新课讲授

1．向量与数量。

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．

(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．

2．向量的几何表示。

(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．

→→→(2)向量可以用有向线段表示，向量AB的大小也就是向量 AB的长度(或称模)，记作|.向→|AB→量也可以用字母a、b、c…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如AB、CD. 【问题导思】

零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？

【提示】零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定相同. 名称

零向量

定义

长度为0的向量，记作0

单位向量

长度等于1个单位的向量

〈设计意图〉教师通过分析、讲解，帮助学生理解概念。

（三）例题讲解

例1 下列说法正确的有________．

(1)若|a→|＝|→b|，则a＝b或a＝－b；

(2)向量→AB与→CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；

(3)向量AB与BA是平行向量；

(4)任何两个单位向量都是相等向量．

【思路探究】

明确向量的有关概念，根据定义进行判定．

【自主解答】

(1)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．

→→(2)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB、CD必须在同一直线上，因此点B、C、D不一定在同一条直线上．

→A、→(3)正确．向量AB与BA是长度相等，方向相反的两个向量．

(4)错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．

【答案】

(3) 规律方法：

1．单位向量、零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的．

2．对于概念性题目，关键把握好概念的内涵与外延，正确理解向量共线、向量相等的概念，清楚它们的区别与联系．

〈设计意图〉通过例1来加深对“向量”的理解。

（四）巩固练习

例1判断下列说法是否正确，并简要说明理由：

(1)零向量只有大小没有方向；

(2)相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量；

(3)若向量a与向量b同向，|a|＞|b|，则a＞b；

(4)若a＝b，b＝c，则a＝c. 【解】(1)不正确，零向量的长度为零，方向是任意的，并不是没有方向．

(2)正确，相等向量的方向相同，因此必是平行向量，但平行向量的长度不一定相等，因此不一定是相等向量．

(3)不正确，向量不能比较大小．

(4)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. 例2 (1)已知B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．

图2－1－1 (2)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了→→→→10米到达D点．

①作出向量AB，BC，CD→. ②求AD的模．

→【思路探究】

1.向量BC与CB是相等向量吗？可以从哪两个角度列出满足题意的向量？

2．用有向线段表示向量时，向量的两个要素是如何表达出来的？

→→→→→→【自主解答】

(1)设线段AD的长度是3，则长度为1的向量有→→→→AB＝BC＝CD，BA＝CB＝DC，共2个互不相等的非零向量；长度为2的向量有AC＝BD，CA＝DB，共2个互不相等的非零向

→→量；长度为3的向量有AD，DA，共2个互不相等的非零向量，

综上知，最多可以写出6个互不相等的非

零向量．【答案】→

6 →→(2)①作出向量AB，BC，CD，如图所示：

②由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝102米，CD＝10米，所以BD22＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝510→＝55(米)．所以|AD|＝55米．

规律方法

1．向量的两种表示方法

(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．

(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性→→→质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB，CD，EF等．

2．两种向量表示方法的作用

(1)用几何表示法表示向量，便于用几何研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．

(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．

〈设计意图〉通过两道练习，增强学生的理解与把握。

五、作业

P.77 习题A组题

1、2. 六、课堂小结

1.向量的定义。

2.向量的两种表示方法

七、板书设计

2.1.1 平面向量的实际背景及基本概念（1）

物理背景: 例 学习目标

向量的定义：

变式

练习

1、……

向量的表示：

2、……