复习参考题公开课教案（教学设计）

重点强化课(二)

平面向量

[复习导读]

从近五年全国卷高考试题来看，平面向量是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算、平面向量数量积及其应用、平面向量共线与垂直的充要条件．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用，注重数形结合，向量具有“形”与“数”两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．

重点1

平面向量的线性运算

(1) (2017·深圳二次调研)如图1，正方形ABCD中，M是BC的中点，→→→若AC＝λAM＋μBD，则λ＋μ＝(

)

图1 4A.3

15C.8

5B.3

D.2 →→→→(2)在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b,3AN＝NC，M为BC的中点，则MN＝________.(用a，b表示)

→→→→→→→31(1)B

(2)－4a－4b

[(1)因为AC＝λAM＋μBD＝λ(AB＋BM)＋μ(BA＋AD)＝λ－μ＝1，→→→→→1→1λAB＋AD＋μ(－AB＋AD)＝(λ－μ)AB＋2λ＋μAD，所以12λ＋μ＝1，2

得

4λ＝3，1μ＝3，

5所以λ＋μ＝3，故选B.

→→→(2)如图所示，MN＝MC＋CN

1→3→＝2AD＋4CA

1→3→→＝2AD＋4(CB＋CD) 1→3→→＝2AD＋4(DA＋BA) 13331＝2b－4a－4b＝－4a－4b.] [规律方法]

1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．

2．用几个基本向量表示某个向量问题的步骤：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．

→→→3．O在AB外，A，B，C三点共线，且OA＝λOB＋μOC，则有λ＋μ＝1. →→→[对点训练1]

设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(

)

A．3

C.5

B

[因为D为AB的中点，

→1→→则OD＝2(OA＋OB)，

→→→又OA＋OB＋2OC＝0，

B.4

D.6

→→所以OD＝－OC，所以O为CD的中点．

又因为D为AB的中点，

11所以S△AOC＝2S△ADC＝4S△ABC，

S△ABC则S＝4.] AOC

重点2

平面向量数量积的综合应用

→→

(2016·杭州模拟)已知两定点M(4,0)，N(1,0)，动点P满足|PM|＝2|PN|. (1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)若点G(a,0)是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A，B两点，→→令f(a)＝GA·GB，求f(a)的取值范围．

→→[解]

(1)设P的坐标为(x，y)，则PM＝(4－x，－y)，PN＝(1－x，－y)．

→→∵动点P满足|PM|＝2|PN|，

∴4－x2＋y2＝21－x2＋y2，

整理得x2＋y2＝4.4分

(2)(a)当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝a，不妨设A在B的上方，直线方程与x2＋y2＝4联立，可得A(a，4－a2)，B(a，－4－a2)，

→→∴f(a)＝GA·GB＝(0，4－a2)·(0，－4－a2)＝a2－4；6分

(b)当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－a)，

代入x2＋y2＝4，整理可得(1＋k2)x2－2ak2x＋(k2a2－4)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

k2a2－42ak2则x1＋x2＝，xx＝，

1＋k2121＋k2

→→∴f(a)＝GA·GB＝(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋k2(x1－a)(x2－a)＝a2－4. ziyuanku.com由(a)(b)得f(a)＝a2－4.10分

∵点G(a,0)是轨迹C内部一点，

∴－2

∴－4≤a2－4<0，∴f(a)的取值范围是[－4,0).12分

[规律方法]

1.本题充分发挥向量的载体作用，将平面向量与解析几何有机结合，通过平面向量数量积的坐标运算进行转化，使问题的条件明晰化．

2．利用平面向量可以解决长度、角度与垂直问题．

[对点训练2]

(1)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为(

) A.2－1

C.2＋1

B.2 D.2＋2 π(2)(2016·四川成都模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠B＝3，点P满足AP→→→＝λAB，λ∈R，若BD·CP＝－3，则λ的值为(

) 资源库 ziyuanku.co1A.2

1C.3

1B.－2

1D.－3

(1)C

(2)A

[(1)∵a，b是单位向量，且a·b＝0，

∴|a|＝|b|＝1，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2，

∴|a＋b|＝2.又|c－a－b|＝1，

∴|c|－|a＋b|≤|c－a－b|＝1. 从而|c|≤|a＋b|＋1＝2＋1，∴|c|的最大值为2＋1. →→(2)法一：由题意可得BA·BC＝2×2cos 60°＝2，

→→→→→→BD·CP＝(BA＋BC)·(BP－BC) →→→→→＝(BA＋BC)·[(AP－AB)－BC]

→→→→＝(BA＋BC)·[(λ－1)·AB－BC] →→→→→→2＝(1－λ)BA－BA·BC＋(1－λ)BA·BC－BC2

＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，

1∴λ＝2，故选A. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，3)，D(－1，3)．

资源库 ziyuanku.co来源：ziyuanku.com

→令P(x,0)，由BD·CP＝(－3，3)·(x－1，－3)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3，得x＝1. →→1∵AP＝λAB，∴λ＝2.故选A.] 重点3

平面向量与三角函数的综合应用

π

(2017·合肥二次质检)已知m＝sinx－6，1，n＝(cos x,1)．

(1)若m∥n，求tan x的值；

(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调增区间．

π[解]

(1)由m∥n得sin x－6－cos x＝0，3分

展开变形可得sin x＝3cos x，即tan x＝3.5分

π31(2)f(x)＝m·n＝2sin2x－6＋4，7分

资源库πππ由－2＋2kπ≤2x－6≤2＋2kπ，k∈Z得

ππ－6＋kπ≤x≤3＋kπ，k∈Z.10分

WWW.ziyuanku.com又因为x∈[0，π]，

π5π所以f(x)的单调递增区间为0，3和6，π.12分

[规律方法]

平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

资源库ziyuanku.com(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或

等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

→→[对点训练3]

已知O为坐标原点，向量OA＝(3sin α，cos α)，OB＝(2sin α，→→3π5sin α－4cos α)，α∈2，2π，且OA⊥OB，则tan α的值为(

) 

4A．－3

4C.5

4B.－5

3D.4

A

[由题意知6sin2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，上述等式两边同时除以cos2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，由于α∈3π2，2π，

4则tan α<0，解得tan α＝－3，故选A.]