2.1.2 向量的几何表示教学创新设计

2.1.1

向量的物理背景与概念及向量的几何表示

教学分析

本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.

教学目标：

一、知识与技能目标

了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 二、过程与方法

通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

三、过程与方法

通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学

法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教学思路：

一、情景设置：

如图，小偷由A向西北逃窜，警察在B处向东追去，设问：警察能否追到小偷？（画图）

结论：警察的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：小偷逃窜的路线AC、警察追逐的路线BD实际上

都是有方向、有长短的量. C A B D 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？新课学习：

（一）自学课本74页回答问题

1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？请说出与位移具有同样特征的量？

2、力既有大小，又有方向，在物理学中称这种既有大小，又有方向的量为矢量，你还能指出哪

些物理量是矢量吗？

3、数量与向量的区别？

（二）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

（三）请同学阅读课本后回答：

1、如何表示向量？

2、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

3、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

4、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

5、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

6、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？

（四）探究学习

1、数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；

②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小―长度称为向量的模，记作|AB|.

3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0.

0的方向是任意的.

注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. （五）理解和巩固：

例1 课本75页例1.（课后自学）

例2例1：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在如图所标出的向量中：

a A(起点) E D

B （终点）

（1）

试找出与FE共线的向量；

（2）

确定与FE相等的向量；（3）

OA与BC相等吗？

O F （1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？

A B 课堂练习：1回答：

C （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？

（7）共线向量一定在同一直线上吗？

2下列命题正确的是（

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与cB.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.D.有相同起点的两个非零向量不平行

二、小结

：

本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好。

四、课后作业：课本练习2、3、4，77习题A组第三题

课后反思：本节是平面向量的第一节,显然属于“概念课”,概念的理解无疑是重点,但也是难点.本教案设计的指导思想是:把学生划分小组合作讨论学习,经过小组成员们的合作探究,对平面向量的基本概念和基本解题方法都明了了不少,应该有很多的成功之处或收获.对失败或教训之处可能是由于一些概念性问题没有深入研究,导致解题存在困难,不过这些会通过学习的深入弥补过来的.

作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后,给中学数学带来了无限生机.通过本节具体问题的解决,让学生体会到数学在生活中的重要作用,并在实际课堂教学中规范学生的习惯,培养严谨的思考习惯和代数与几何相结合的习惯,为后面学习打下基础.