2.1.3 相等向量与共线向量教学实录与评析

2.1.3 相等向量与共线向量

学习目标：

1. 理解相等向量的概念及表示；[来源:Z.xx.k.Com]

2. 理解平行向量的概念及表示；

3. 理解共线向量与零向量的关系. 教材梳理

1.与向量有关的概念

→

(1) 向量的长度定义：向量AB的大小．

→(2) 向量的长度表示：向量AB的长度记作_____；向量a的长度记作_____. (3) 零向量：长度为____的向量叫做零向量，记作________. (4) 单位向量：长度为___的向量叫做单位向量．

(5) 相等向量：__________且___________的向量叫做相等向量．

(6) 平行向量(共线向量)：方向_____________的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．

①

记法：向量a平行于b，记作________. ②

规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. 2.判一判(判断下列说法的正误) →→(1) 向量AB与向量BA是相等向量．(

) (2) 与实数类似，对于两个向量a，b有：a＝b，a＞b，a＜b三种关系．(

) [来源:学|科|网Z|X|X|K]

(3) 两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．(

) [来源:学科网ZXXK]

3.对共线向量或平行向量的理解

(1) 共线向量与平行向量是同一概念的不同名称，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，并规定零向量与任意向量平行．表示共线向量的有向线段所在的直线可以平行，也可以重合，所以“共线”“平行”的含义不同于平面几何中“共线”“平行”的含义．

(2) 共线向量有四种情况：

方向相同且模相等，方向相同且模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．

知识点1

向量与图形

【例1】

下列各种情况中，向量终点构成什么图形？

(1)把所有单位向量的起点平行移动到同一点O；

(2)把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一点；

(3)把平行于某一直线的一切向量起点平移到同一点．

变式训练1．把平面上所有方向相同的向量的起点平行移动到同一点O，那么这些向量的终点所构成的图形是(

) A．一条线段 B．一条直线 C．一条射线 D．一个点

知识点2

相等向量和共线向量

【例2】

两个全等的正三角形ABC与PQR如右图放置，使得D，E，F，G，H，K分别是两个三角形各边的三等分点．设ABC的边长为3a，在所有以A，B，C，D，E，F，G，H，K，P，Q，R中任意两点为端点，长度为a的向量中，问：

(1)与相等的向量有哪几个？

(2)与共线的向量有多少个？

(3)与的模相等的向量有多少个？

变式训练2.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，在图中标出的向量中，

(1)与a相等的向量有_____________； BACF (2)与a共线的向量有_____________；

(3)与a反向的向量有_____________；

(4)与a同向的向量有_____________．

DE

规律总结：

1.

在平面图形中找出相等向量和平行向量的关键: 关键是根据平面图形的几何性质寻找线线的平行关系和线段之间的长度相等关系．

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

2．向量平行与直线平行的关系

两条直线平行时，直线上的有向线段平行，从而有向线段所表示的两个向量平行；

两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线不一定平行(可能重合)．

知识点3零向量的性质

【例3】

下列叙述错误的个数是________．

(1)若a∥b，b∥c，则a∥c；

(2)零向量没有方向；

(3)零向量可以用一个点来表示.

例2 判断下列命题是否正确：

①若两个单位向量共线,则这两个向量相等（

）

②不相等的两个向量一定不共线

（

）

③ａ与ｂ共线,ｂ与ｃ共线,则ａ与c也共线（

）

④任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行

四边形的四顶点（

）

⑤向量ａ与ｂ不共线,则ａ与ｂ都是非零向量（

）

⑥有相同起点的两个非零向量不平行（

）

课堂总结

1.相等向量--长度相等且方向相同的向量.平行向量与共线向量是同一概念，相等向量 与平行向量是包含概念. 2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关

3.向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向 量）

对应的有向线段既可以平行也可以共线. 4.平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性. [来源:Z*xx*k.Com]

课后作业：课本77-78习题2.1 A组：3，4. B组：1，2.