阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质课时教学实录

课题：平面向量数量积的坐标表示

用向量的坐授课人：林桂华

标反映向量的数目的要求：

量积，为研究数量1、掌握平面向量数量积的坐标表示

积开创了一个新2、掌握向量垂直的坐标表示的充要条件

天地，体现了代数教学重点：

与几何的完美结平面向量数量积的坐标表示及由此推得的长度、角度、垂直关系合，通过本节学的坐标表示。

习，使学生感受到教学难点：

同一事物的不同坐标法解决长度、角度、垂直等问题

表示形式不会改变其本质规律。

教师引导过程：

学生学习活动：

一、引入

向量

向量的加法与减法

1、能说出我们学了向平面向量的坐标运算

量的哪几部分内容平面向量的数量积及运算律

吗？

2、平面向量的数量积

ab定义：

= cos

ab是如何定义的？它有

温故而知新，学习什么几何意义？

几何意义：数量ab等于a的长度a与b总是与一定的知

识背景相联系，利

在a方向上的投影b

cos的乘积。

用学生已有知识

和经验引出新知

识，不但保持已获3、平面向量的数量积22取的知识，而且迁的性质是什么？

①长度的表示：aa

移到陌生的情境

中

ab②角度的表示：cos =

|a||b|

③两平面向量垂直的充要条件：

ab



ab= 0

4、练习

x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，

则：又ii=

，jj=

，ij

=

，

ji=

教师引导过程：

我们知学生学习活动：

yA(x1,y1)aB(x2,y2)道，向量的表示形式不同，对其运算的表达形式也会改变，用坐标来表示bjOix图532

充分体现学为主体，教为主j是y轴上的单位向量，

导，启发学生实向量，为我们解决践，领会数学思维ax1iy1j，bx2iy2j

过程，自得知识，向量的加、减带来自觅规律，自悟原(x1iy1j)(x2iy2j)

理，主动发展思维了方便，那么向量2和能力。

x1x2i+x1y2ij+x2y1ij+

的数量积能否用坐2

y1y2j

标表示呢？如果

x1x2y1y2

能，形式又是怎样

通过结论的

呢？这节课我们探推导过程培养学

生归纳和能力。

讨这个问题。

二、新课讲解

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘

（一）平面向量数量积积的和。

的坐标

1、[问题] 已知两个非知两向量坐标求数量积

零向量

a(x1,y1)，

b(x2,y2)

，试用a和b的坐标表

示ab

|a|2x2y2或|a|x2y2

分析：已知的是两向量坐

标，要进行数量积运算，

只须根据向量坐标的意

义，用运算律解决。

学生学习活动：

解：设i是x轴上的单位向量，

2、能把这个结论用文字表述吗？

这是向量数量积的计算法则，什么时候适用？

（二）有关性质

有了数量积的坐标表示，我们就可以自己来探讨长度、角度、垂直的坐标表示

a=AB=(x1x2,y1y2)

|a|(x1x2)2(y1y2)2

通过性质的推导过程培养学生归纳能力、类比推理能力和初步运用所学新知识的能力。

知识的直接运用，有助于学生巩固新学的知识。

用坐标法表示向量的数量积解决课本在上一节提出的问题，使学生初步体会到新知识的作用。

设置阶梯，使学生能用向量证明已学的公式，体会到用向量解决问题特别是有关角度问题的优越性。使学生对知识的运用有一个质（平面内两点间距离公式）

cos =ab|a||b|x1x2y1y2x1y122x2y222

（1）设a(x,y)，求∵ab

ab

=0即x1x2 + y1y2 = 0 a

教师引导过程：

（2）如果表示向量a=

a

∥b

(b0)ab或x1y2x2y10

AB的有向线段的起

点和终点的坐标分别

为A(x1,y1)、B

(x2,y2)，求AB

（3）夹角能表示吗？

（4）如何判定向量垂

直？（用坐标表示）

（例题、练习以学生做老师、引导点评为主）

注意与向量共线的坐例1（1）设a(5,7)，b(6,4)，标表示的区别：

向量共线的充要条件求ab。

有哪两种形式？

（要从意义上区别）

（2）设a(5,7)，b(6,4)，由此可见，数量积有不同的表示形式，体现了，求(ab)c和a(bc)

数和形的美妙结合，但c(2,4)它的本质规律不会改说明：平面向量的数量积不满足结合律，

变，数量积的坐标表示例2（1）a(cos,sin)，为用“数”的运算处理“形”的问题架起了桥b(cos,sin)，求ab

梁。下面我们利用这座桥解决问题。

（三）应用

例1：（1）直接运用学生学习活动：

法则解决问题

（2）由此题我们得到什么结论？

例2（1）此例结果与我们学过的什么知识有关？

教师引导过程：

（2）证明：

cos()coscossinsin

y

P2

P1



x 1

y

（2）证ab

=

abcos

P1

=cos()即可



x

1 注意，为a与b的夹角

（有两种情况）

P2

例3、已知a(1,3)，b(31,31)

求a与b的夹角

例4、求证：

2222x1x2+y1y2≤x1y1+x2y2

说明：此题有关平面内

两个非零向量的夹角的飞跃，进一步提高学生运用向量的意识。

第二种情况留给学生课后思考，培养学生学习的主动性。

利用向量方法解几何题，特别是角度、长度问题，是本课重点之一，一方面体现向量的应用性，另一方面，能在应用中达到对向量知识的理解与掌握。

通过几何形式和代数形式的互化，使学生透彻理解数量积的两种表达形式。

通过表格对比两种表达形式

问题，代入式子计算即ab可cos =

|a||b|

定义形式

坐标形式

数量积

长度

角度

垂直

说明：此题体现了向量的数量积的不同表示本质的一致性，

三、课堂小结：

（填表）

这两种形式在解题时经常使用

下节课我们解决两向量垂直问题及用向量证明平几问题

四、作业：

A组：1、课本121页第2题

2、已知向量a与b同向，b(1,2)，

进行小结，使学生对向量的数量积及有关

性质的表示有清晰的认识。以便区分和应用。

ab=10，（1）求a的坐标

（2）求a(bc)

B组：求

C组：已知向量a(cos,sin)，b(cos,sin)，（0)，

且kab与akb大小相等，求

（其中k为非零实数）