2.3.1 变量之间的相关关系精品学案

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2．3变量间的相关关系

●三维目标

1．知识与技能

通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，认识变量间的相关关系．

2．过程与方法

明确事物间的相互联系．认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系．

3．情感、态度与价值观

通过对事物之间相关关系的了解，

让学生们认识到现实中任何事物都是相互联系的辩证法思想．

●重点难点

重点：(1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；

(2)利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系．

难点：(1)变量之间相关关系的理解；

(2)作散点图和理解两个变量的正相关和负相关．

从现实生活入手，抓住学生们的注意力，引导学生分析得出概念，让学生真正参与到概念的形成过程中来．通过对典型事例的分析，

向学生们介绍什么是散点图，并总结出如何从散点图上判断变量之间关系的规律．通过实验让学生们感受散点图的主要形成过程，并由此引出线性相关关系强化本节重点．

通过学生讨论、交流，用TI图形计算器展示、对比自己作出的散点图，得出线性相关关系、正负相关关系的概念．教师及时将求线性方程的公式展示出来，通过例题的讲解和训练，进一步加深对散点图和回归方程的理解，突破难点．

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1.理解两个变量的相关关系的概念．(难点) 2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是课标解读

否具有相关关系．(重点) 3．会求回归直线方程．(重点) 4．相关关系与函数关系．(易混点)

【问题导思】

下表是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：

施化肥量

水稻产量

15

320

20

330

25

360

30

410

35

460

40

470

45 480 变量间的相关关系

1.将上述数据制成散点图．

【提示】

散点图如下：

2．施化肥量与水稻产量有关系吗？

【提示】

有关系．

1．相关关系：不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性．

2．散点图：将样本中几个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．

3．正相关与负相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称它为正相关．若散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，称它为负相关．

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【问题导思】

一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：

转速x(转/秒)

每小时生产有缺

陷的零件数y(件)

1.在平面直角坐标系中作出散点图．

【提示】

11

9

8

5 16

14

12

8 回归直线方程

2．从散点图中判断x和y之间是否具有相关关系？

【提示】

有．

3．若转速为10转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的零件件数？

【提示】

可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方程后可预测．

1．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

2．回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．

3．最小二乘法

求回归直线时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

4．求回归方程

若两个具有线性相关关系的变量的一组数据为：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，∧∧∧yn)，则所求的回归方程为y＝bx＋a

，

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∧∧其中a，b为待定的参数，由最小二乘法得：

x－y

x－xy－yxy－n－b＝＝，x

x－xx－n－a＝y－bx.nniiii∧i＝1i＝1ni2n2i2i＝1i＝1∧∧

80

∧∧b是回归直线斜率，a是回归直线在y轴上的截距

线性相关关系的判断

以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价

格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：

房屋面积x(m2)

销售价格y(万元)

(1)画出数据对应的散点图；

(2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？

【思路探究】

涉及两个变量房屋面积与销售价格，以房屋面积为自变量，考察销售价格的变化趋势从而做出判断．

【自主解答】

(1)数据对应的散点图如图所示：

115

24.8

110

21.6

135

29.2

105 22 19.4

(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋的面积高考资源网版权所有，侵权必究！

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^－^－a＝y－bx＝5－1.23×4＝0.08. (2)回归直线方程是^y＝1.23x＋0.08，

当x＝10时，^y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，

即估计使用10年时维修费用是12.38万元．

利用回归方程对总体进行估计

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：

x y 3

2.5

4

3

5

4

6 4.5 (1)请画出上表数据的散点图；

∧∧∧(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程y＝bx＋a；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

【思路探究】

(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，∧∧在平面直角坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数b，a的值；(3)实际上就是求当x＝100时，对应的y的值．

【自主解答】

(1)散点图，如图所示．

(2)由题意，得xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，

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x＝3＋4＋5＋6＝4.5，

42.5＋3＋4＋4.5y＝＝3.5，

42222x2i＝3＋4＋5＋6＝86，

4i＝166.5－4×4.5×3.566.5－63∴b＝＝＝0.7，

86－4×4.5286－81∧∧∧a＝y－bx＝3.5－0.7×4.5＝0.35，

∧故线性回归方程为y＝0.7x＋0.35. (3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，

故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．

回归分析的三个步骤

(1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图．

(2)求线性回归方程，注意运算的正确性．

(3)根据回归直线进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差．

炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的几种对应数据如下表所示：

x(0.01%)

y(分)

104

100

180

200

190

21

177

185

147

155

134

135

150

170

191

205

204

235

121 125 (1)作出散点图，判断冶炼时间y对钢水含碳量x是否线性相关；

(2)求回归直线方程；

(3)预测当钢水含碳量为160个0.01%时应冶炼多少分钟．

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∧i＝1xiyi－6x

y2x2i－6x66b＝＝198 400－6×550×57≈0.058 857，8分

1 990 000－6×5502i＝1∧∧a＝y－bx＝57－0.058 857×550＝24.628 65.9分

∧因此所求的线性回归方程为y＝0.058 857x＋24.628 65.10分

∧(4)将x＝1 000代入回归方程得y＝0.058 857×1 000＋24.628 65＝83.486，即退水温度是1 000 ℃时，黄硐延长性大约是83.486%.12分

1．在研究两个变量是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以做出如下判断：(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，那么变量之间具有相关关系；(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系．

2．利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关关系，体现了数形结合思想的作用，而用回归直线方程进行估计又体现了函数与方程思想的应用．

1．判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关．

2．求回归直线方程时应注意的问题

(1)知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系高考资源网版权所有，侵权必究！

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不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．

∧∧∧∧(2)用公式计算a，b的值时，要先算出b，然后才能算出a. ∧∧∧3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归直线方程为y＝bx＋a，∧∧∧则x＝x0处的估计值为y0＝bx0＋a. 由于回归直线将部分观测值所反映的规律进行了延伸，所以它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用.

1．下列变量之间的关系是相关关系的是(

) A．正方体的表面积与体积

B．光照时间与果树产量

C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间

D．中国足球队的比赛成绩与中国乒乓球队的比赛成绩

【解析】

A、C是函数关系，D无相关关系．

【答案】

B ∧2．设一个回归方程y＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时

(

) A．y平均增加1.2个单位

B．y平均增加3个单位

C．y平均减少1.2个单位

D．y平均减少3个单位

【解析】

由b＝1.2>0，故选A. 【答案】

A ∧3．若施化肥量x(千克/亩)与水稻产量y(千克/亩)的回归方程为y＝5x＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为亩产________千克左右．

∧【解析】

当x＝80时，y＝400＋250＝650. 【答案】

650 4．某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如下表高考资源网版权所有，侵权必究！

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对应数据：

x y (1)画出散点图；

(2)判断y与x是否具有线性相关关系．

【解】

(1)散点图如下：

10

1

15

1.3

17

1.8

20

2

25

2.6

28

2.7

32 3.3

(2)由图可知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系，且为正相关.

一、选择题

1．判断下列图形中具有相关关系的两个变量是(

)

【解析】

A、B为函数关系，D无相关关系．

【答案】

C 2．已知x与y之间的一组数据：

x y ∧0

1

1

3

2

5

3

7

4 9 则y与x的线性回归方程y＝bx＋a必过点(

) A．(1,2)

C．(2,5)

B．(5,2) D．(2.5,5) 高考资源网版权所有，侵权必究！

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【解析】

线性回归方程一定过样本中心(x，y)．

由x＝0＋1＋2＋3＋41＋3＋5＋7＋9＝2，y＝＝5. 55故必过点(2,5)．

【答案】

C 3．(2013·湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y与x负相关且^y＝2.347x－6.423；

②y与x负相关且^y＝－3.476x＋5.648；

③y与x正相关且^y＝5.437x＋8.493；

^④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是(

) ．．．A．①②

C．③④

B．②③

D．①④

【解析】

由正负相关性的定义知①④一定不正确．

【答案】

D 4．两个相关变量满足如下关系：

x y 10

1 003

15

1 005

20

1 010

25

1 011

30 1 014 两变量的回归直线方程为(

) ∧∧A.y＝0.56x＋997.4

∧B.y＝0.63x－231.2 ∧C.y＝50.2x＋501.4

D.y＝60.4x＋400.7 1【解析】

x＝5(10＋15＋20＋25＋30)＝20，

1y＝5(1 003＋1 005＋1 010＋1 011＋1 014)＝1 008.6，

代入所给选项A符合．

【答案】

A 5．(2013·福建高考)已知x与y之间的几组数据如下表：

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x y 1

0

2

2

3

1

4

3

5

3

6 4 ^x＋a^.若某同学根据上表中假设根据上表数据所得线性回归直线方程为^y＝b的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(

) ^>b′，a^>a′

A.b^a′

C.b^>b′，a^

B.b^

D.b【解析】

由(1,0)，(2,2)求b′，a′. 2－0b′＝＝2，

2－1a′＝0－2×1＝－2. ^，a^时，

求bi＝1xiyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，

13x＝3.5，y＝6，

6i＝1x2i＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，

1358－6×3.5×691－6×3.526^＝∴b5＝7，

^＝13－5×3.5＝13－5＝－1，

a67623^a′. ∴b【答案】

C 二、填空题

6．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y∧对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．

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∧【解析】

由于y＝0.254x＋0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元．

【答案】

0.254 7．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：

月平均气温x(℃)

月销售量y(件)

17

24

∧13

23

8

40

2 55 由表中数据算出线性回归方程中的b＝－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．

【解析】

样本中心点是(10,35.5)，

∧－则a＝y－b

－x＝35.5－(－2)×10＝55.5，

∧故线性回归方程为

∧y＝－2x＋55.5，

将x＝6代入得

∧y＝－2×6＋55.5 ＝43.5≈44. 【答案】

44 8．某公司的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据(由资料显示y与x呈线性相关关系)：

x y 2

30

4

40

∧5

60

∧6

50

∧8 70 ∧根据上表提供的数据得到回归方程y＝bx＋a中的b＝6.5，预测销售额为115万元时约需________万元广告费．

1【解析】

x＝5(2＋4＋5＋6＋8)＝5，

1y＝5(30＋40＋60＋50＋70)＝50，

∧∧∧由b＝6.5知，a＝y－b·x＝50－6.5×5＝17.5，

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∧∧∧y－257＝b

(x－2 008)＋a＝6.5(x－2 008)＋3.2. 即∧y＝6.5×(x－2 008)＋260.2. (2)利用所求得的回归方程，可预测2014年的粮食需求量为

6．5×(2 014－2 008)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．

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