2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教案内容

平面向量的正交分解及坐标表示

教材分析

这节课通过建立直角坐标系，结合平面向量基本定理，给出了向量的另一种表示———坐标表示，这样使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应关系，然后导出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为利用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，更突出也更简化了向量的应用．所以，一定要让学生重点掌握向量的坐标运算，以利于掌握坐标形式下的向量的一些关系式及运用．教学难点是让学生建立起平面向量的坐标概念．

教学目标

1. 理解平面向量坐标概念，领会它的引入过程，进一步体会一一对应的思想意识．

2. 理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，并能应用坐标运算解决一些问题．

3. 增强数形结合意识，领会“没有运算，向量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限”的说法．

任务分析

1. 有了平面向量的基本定理，就不难有平面向量的正交分解，有了坐标系下点与坐标的一一对应关系，也就容易有在直角坐标平面内的向量与坐标的一一对应．

2. 可以从两个角度来理解平面向量的坐标表示：

（1）设i，j为x，y轴方向上的单位向量，则任一向量ａ可唯一地表示为xi＋yj，即唯一对应数对（x，y），所以可以说a＝（x，y）．

（2）任一向量ａ可平移成，一一对应点A（x，y），从而可说a＝（x，y）．

3. 在接触过xOy平面内一点到它的坐标的这种形、数过渡的基础上，容易接受由向量到坐标的这种代数化的过渡．

教学设计

一、问题情景

1. 光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F1和木块产生的垂直于斜面的压力F2（如图）．

一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．

2. 在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？

二、建立模型

1. 如图，在直角坐标系中，先分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面上一个向量a，由平面向量的基本定理，知有且只有一对实数x，y使ａ＝xi＋yj，这样平面内任一向量a都可由x，y唯一确定，（x，y）叫a的坐标，记作a＝（x，y）．

显然，i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）．

若把ａ的起点平移到坐标原点，即ａ＝xi＋yj，则，则点A的位置由ａ唯一确定．设＝的坐标就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x，y）也就是的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数（即坐标）唯一表示．

2. 学生思考讨论

已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a－b，λa的坐标吗？

∵ａ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），

∴ａ＝x1ｉ＋y1ｊ，b＝x2ｉ＋y2ｊ．

∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j，

∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2，y1＋y2）．

同理ａ＋ｂ＝（x1－x2，y1－y2），λａ＝（λx1，λy1）．

上述结论可表述为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

三、解释应用

［例

题］

1. 已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB→的坐标．

解：如图39-3，AB→＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）．

总结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．

思考：能在图中标出坐标为（x2－x1，y2－y1）的P点吗？

平移到，则P（x2－x1，y2－y1）．

2. 已知A（－2，1），B（－1，3），C（3，4）．

（1）求－的坐标．

（2）求ABCD中D点的坐标．

放开思考，展开讨论，看学生们有哪些不同方法．

（1）解法1：∵＝（1，2），＝（5，3），

∴

－＝（1，2）－（5，3）＝（－4，－1）．

解法2：－＝＝（－4，－1）．

（2）解法1：设D（x，y），∴x＝y＝2，D（2，2）．

＝，即（1，2）＝（3－x，4－y），

思考：你能比较出对（2）的两种解法在思想方法上的异同点吗？

（解法1是间接的思想，即方程的思想，解法2是直接的思想）

3. 在直角坐标系xOy中，已知点A（3，2），点B（－2，4），求向量方向和长度．

＋的解：由已知，得＝（3，2），＝（－2，4）．

设＝＋，则＝＋＝（3，2）＋（－2，4）＝（1，6）．

由两点的距离公式，得

设相对x轴正向的转角为α，则

查表或使用计算器，得α＝80°32′．

答：向量的方向偏离ｘ轴正向约为80°32′，长度等于．

，向量的方向偏离x轴正向约为116°34′，长度等于2［练

习］

1. 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求3a＋4b的坐标．

2. 设a＋b＝（－4，－3），a－b＝（2，1），求a，b．

解法1：∵2a＝（－4，－3）＋（2，1）＝（－2，－2），

2b＝（－4，－3）－（2，1）＝（－6，－4），

∴a＝（－1，－1），b＝（－3，－2）．

解法2：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则

3. 已知ａ＝（1，1），ｂ＝（1，－1），ｃ＝（－1，2），试以ａ，ｂ为基底来表示ｃ．

解：设c＝k1a＋k2a，即（－1，2）＝k1（1，1）＋k2（1，－1），即（－1，2）＝（k1＋k2，k1－k2），

四、拓展延伸

1. 在直角坐标系xOy中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），求线段AB中点的坐标．

解：设点M（x，y）是线段AB的中点（如图39-5），则＝（＋）．

将上式换为向量的坐标，得

（x，y）＝［（x1，y1

）＋（x2，y2

）］．

即. 这里得到的公式叫作线段中点的坐标计算公式，简称中点公式．

2. 对于向量a，b，c，若存在不全为0的实数k1，k2，k3，使k1a＋k2b＋k3c＝0，则称a，b，c三个向量线性相关，试研究三个向量3，－4）是否线性相关．

＝（3，5），＝（0，－1），＝（－解法1：显然有＋＋＝0，∴三者线性相关．

解法2：由k1＋k2＋k3＝0，

即k1（3，5）＋k2（0，－1）＋k3（－3，－4）＝0，

即（3k1－3k3，5k1－k2－4k3）＝（0，0），

取k1＝k2＝k3＝1，则＋＋＝0，故三个向量线性相关．

点

评

这篇案例设计完整，思路自然．由斜边上物体所受重力的分解，联想到向量应有常见的正交分解；由点的坐标表示，结合平面向量基本定理联想到向量也有坐标形式．这为锻炼学生的类比联想能力，增强数学地提出问题、解决问题的能力提供了平台．向量用坐标表示即把向量代数化，增强了学生数形结合的意识，也增强了一一对应的意识，为提高学生的数学素质打下了良好的基础．