2.1.2 向量的几何表示课时教学实录

数学基础知识与典型例题

第5章平面向量

平面向量相关知识关系表

一、向量的有关概念

1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来

表示向量的有向线段的长度).

2.向量的表示方法:

⑴字母表示法:如a,b,c,等.

⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.

⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA的起点O为在坐标原点,终点

A坐标为x,y,则x,y称为OA的坐标,记为OA=x,y.

注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具. 向3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量量的

相等.两向量a与b相等,记为ab. 概注:向量不能比较大小,因为方向没有大小. 念4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的. 及5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一运个单位向量. 算

6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量共线. 注:共线向量又称为平行向量.

7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算

(一)运算定义

①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是

“自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.

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其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数

量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研

究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可

以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.

刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要

内容列表如下：

运

算

图形语言

符号语言

坐标语言

加法与

减法

OA+OB=OC

记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2)



OBOA=AB

则OAOB=(x1+x2,y1+y2)

OBOA=（x2-x1,y2-y1）



OA+AB=OB

实数与

向向量的AB=λa

记a=(x,y) 量乘积

λ∈R 则λa=(λx,λy) 的

两个向

概ababcosa,b

记a(x1,y1),b(x2,y量的数2)

念量积

则a·b=x1x2+y1y2

及(二)运算律

运算

加法：①abba(交换律);

②(ab)ca(bc)(结合律) 实数与向量的乘积：①(ab)ab; ②()aaa;③(a)()a

两个向量的数量积: ①a·b=b·a; ②(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b);③(a+b)·c=a·c+b·c

注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，

例如(a±b)2=a22abb2

(三)运算性质及重要结论

⑴平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2，称1e12e2为e1,e2的线性组合。

①其中e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底; ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量e1,e2的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的. 这说明如果a1e12e2且a'1e1'2e2,那么1122. ③当基底e1,e2是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.

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向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，



即若A(x，y)，则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点



坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=(x2-x1,y2-y1)

⑵两个向量平行的充要条件

符号语言：a//bab(b0)



坐标语言为：设非零向量ax1,y1,bx2,y2,则a∥b(x1,y1)=λ(x2,y2)，

即x1x2yy,或x当a与1y2-x2y1=0, 在这里,实数λ是唯一存在的,b同向时,

12

λ>0；当a与b异向时,λ<0。|λ|=|a|

|,λ的大小由a及b的大小确定。因此,b|向量当a,b确定时，λ的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意的

义。

概⑶两个向量垂直的充要条件

念符号语言：abab0

及坐标语言：设非零向量运ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y20

算

⑷两个向量数量积的重要性质：

①a2|a|2

即

|a|a2(求线段的长度); ②abab0(垂直的判断); ③cosabab

(求角度)。

以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值. 注:①两向量a,b的数量积运算结果是一个数abcos(其中a,b),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.

②bcos叫做向量b在a方向上的投影（如图）. 数量积的几何意义是数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影的积. ③如果P1(x1,y1),P2(x2,y2),则PP12=(x2x1,y2y1), ∴PP12(x222x1)(y2y1),这就是平面内两点间的距离公式. 向量的

例1．在ABCD中，BCCDBA（

）

概念及运(A)BC

(B)DA

(C)AB

(D)AC

算

例2.平面内三点A(0,3),B(3,3),C(x,1),若AB∥BC，则x的值为(

)

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(A)-5

(B)-1 (C)1 (D)5



例3.

设a，b，

c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：



①(a·b)c(c·a)b=0

②|a|-|b|<|ab| ③(b·c)a(c·a)

b不与c垂直

④(3a+2b)·(3a2b)=9|a|2- 4b|2中，

真命题是(

)(A)①②

(B)②③

(C)③④

(D)②④



例4. △OAB中,

OA=a,OB=b,OP=p,若p=t(ab)，t∈R，则点P在(

)

|a||b|

(A)∠AOB平分线所在直线上

(B)线段AB中垂线上

(C)AB边所在直线上

(D)AB边的中线上

例5. 正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且

OP=

（0，3），OS=（4，0），则RM=(

)

(A)（7,1）

(B)（72,1222）

(C)（7，4）

(D)（772,2）

例6.已知ax,3,b2,4,ab,则实数x=_______.

向例7.已知ab2,8,ab6,4,则a_____, b______,a与b的夹角量的余弦值是_____. 的

例8. 已知ABC的三个顶点分别为A3,3,B6,0,C5,3,求ACB的大概念小. 及

运

算

例9. 已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD坐标。

例10.在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|OM|∶|OA|=1∶3，|ON|∶|OB|=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记OA= a，OB=b，用

a，b表示向量OP.

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线段的定比分点

例11.点

1.定义:设P1、P2是直线上的两点,点P是上不同于P1、P2A(m,n)关于点

的任意一点,则存在一个实数使PP1PP2,叫做点P分有B(a,b)对称点

向线段定PP.(如图) 的坐标是( ) 12所成的比(A)（－m，－n）

比(B)（a－m，分

b－n）

点

①P在线段PP12上,P为内分点时,0; (C)（a－2m，b②P在线段PP12或P2P1的延长线上, P为外分点时,0. －2n）

(D)（2a－③PPm，1PP,内分取

“+”,

外分取

“一”. 2b－n）

2例12．设2. PP定比分点坐标公式: A(5,6),B(3,4)12，直线AB交x设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)，PP1PP2

轴于C点，则则：xx1x2点C分AB所成1

y1, 的比为（）

y1y21(A)5x4

1x2特殊地，当1时得中点坐标公式：x2

(B)3

yy1y2224另外，注意一下定比分点的向量公式：

(C)5

O为平面内任意一点，PP1PP2

(D)23

则OPOP1OP2(1).

有时直接运用它来考虑更简便! 3. 三角形重心公式及推导（见课本例2）：

三角形重心公式：(x1x2x33,y1y2y33)

平1.图形平移：设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的例13.设向量移

点按照同一方向移动同样长度(即按向量a平移)，得到图形AB(7,5),F`，我们把这一过程叫做图形的平移。

则将AB按2.平移公式：点Px,y按

a3,6平移向量ah,k平移到Px',y'

得到A'B'的坐则x'xh标表示为(

) k（新=旧+移）

y'y(A)(0,1)

其中ah,k叫做平移向量. (B)(4,-11)

(C)(7,-5)

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3. ⑴设曲线C：y=f(x)按a=（h，k）(D)(3,6) 平移，则平移后曲线C对应的解析例14.若将曲式为ykf(xh),当h，k中有一线C1:yf(x)个为零时，就是前面已经研究过的左平移到C2,使右及上下平移. 得曲线C1上一注:函数图象平移口诀:左加右减,上点P的坐标由加下减.

注意这里是指函数解析式的变化(1,0)变为(2,2),．．．．．．．．,另外注意顺序性. 则C2的方程是( ) (A)yf(x1)2(B)yf(x1)2

(C)yf(x1)2(D)yf(x1)2

例15. 把函数ysinx的图象按a4,2平移后得到的函数解析式为-____. 解解斜三角形：

三常用的主要结论有：

角(1)A+B+C=1800

⑵任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 形

⑶等边对等角:abAB;

大边对大角:abAB. ⑷S11ABC2底×高=2r(abc)(其中r是内切圆半径) 12absinC

⑸asinAbsinBcsinC2R(正弦定理)

⑹a2b2c22bccosA,b2(余弦定理)

解三例16.在VABC中,B45,c52,b5,则a等于(

) 角(A)52

(B)53

(C)5

(D)10

形

例17.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,则塔高为(

) (A)4003米

(B)40033米

(C)20033米

(D)2003米

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例18．在ABC中，ax,b2,，B45,若这个三角形有两解，则x的取值范围是（

）

(A)x2

(B)x2

(C)2x22

(D)2x23

数学基础知识与典型例题(第5章平面向量)答案

例1A、例2.C、例3.D、例4.A、例5.A、例6.6、例7.(2,6),(4,2),210、例8.120

例9. 解:(用解方程组思想)设D（x，y），则AD=（x-2，y+1）

∵BC=（-6，-3），AD·BC=0,∴-6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0①

∵BD=(x-3，y-2)，BC∥BD,∴-6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0②

由①②得：x1y1,∴D（1，1）,AD=（-1，2）

例10. 解:∵

B、P、M共线∴

记BP=sPM

∴

OP11sOBs1sOM1s1s1sOB3(1s)OA1sb3(1s)a①

同理，记APtPN∴

=1tOP1ta4(1t)b②

1s9∵

a,b不共线∴

由①②得1t3(1s)解之得：s2321∴

OPab

1stt811114(1t)3注：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。

例11.D、

例12.B、

例13.C 、

例14.A 、

例15.ysin(x4)2、

例16.C、

例17.A 、

例18.C、

5、当有人说你基础差时，你就“疯狂征服它”吧！

“疯狂就是百分之百的投入！忘我、忘物、忘时！排除一切杂念，克服胆怯，树立信心！打破传统，突破极限，淋漓尽致地挑战自己的潜能！

“疯狂就是以苦为乐、以苦为甜、苦尽甘来！”

我坚信征服英语的核心秘诀是：听一百遍录音的热心，抄写一百遍的恒心，自

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言自语一百遍的痴心。我发现这样的热心、恒心和痴心，可以征服英语，也可以做成任何事情。

我在研究奥运冠军的时候也发现，运动员夺冠的精神，也可以帮运动员突破新的领域。如果别人认为你英语基础很差，你还不够聪明，没有英语天赋，那你就看一看、想一想国球世界冠军邓亚萍，是怎样用笨的办法，征服了英语，征服了世界！

邓亚萍退役后，开始到奥委会工作时,连写26个英文字母都难,初到英国剑桥大学上课时，听老师讲课像听天书，但她一字不漏地听、一字不漏地记，回到宿舍，再一字不漏地翻字典，一字不漏地硬啃硬记，每天5点准时起床，读音标、背单词、练听力，晚上整理笔记，直到深夜12点休息。邓亚萍用打乒乓球的心态，来享受练英语的苦,享受疲累,享受困乏，享受孤独，取消朋友聚会，取消社会活动，每天疯狂跟着复读机大声喊英语。

邓亚萍说：“如果学英语后，却没有办法跟别人交流，一切都是零。所以，我特别舍得下功夫。而我学英语的经验是——胆子要大，敢讲，不怕出丑，也不怕说错。因为英语不是我们的母语，说错和不标准是非常正常的。”

由于她每天坚持14个小时的学习，百分之百疯狂投入的学习，完全达到了忘我、忘物、忘时,排除一切杂念地疯狂苦读，以苦为乐、以苦为甜，结果苦尽甘来！一位当初只有小学学历的邓亚萍，在中国向国际奥委会争办2008奥运会时，代表中国的运动员，用流利的英语发言，争得了成功的一票！

邓亚萍说：“一个运动员成功的条件是——付出＋天赋＋好的环境。”她把体育精神用到读书学英语上，也形成了一个读书成功的公式：付出+看不懂就多看几遍的意志力。

我多年的体会是：当你集中所有的精力，将消极的东西变成积极的东西，全神贯注地梦想一定能获得它，那世界上就没有什么东西可以阻挡你！（nothing

that’s

going

to

stop

you！）

我的座右铭是：

行动

行动

再行动

Action,

action,

and

action

again. 说、说、说，疯狂地说！

练、练、练，疯狂地练！

喊、喊、喊，疯狂地喊！

与其空想，不如马上行动。

Instead

of

thinking

about

doing

something,

do

something.

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