探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质优秀教学设计

（探究与发现）利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质

———学生自学“三角函数线的应用”的教学设计

红河州蒙自市第一高级中学 张桂华

【摘要】三角函数是高中函数的重要内容之一，是函数教学的一个重点，它的性质和图象是相当一部分学生的学习难点，困难较大，三角函数在整个高中阶段函数中起着承上启下的作用。利用单位圆中的三角函数线研究三角函数性质，一方面可以加深学生对三角函数定义的理解，另一方面，可以提高学生读图，识图的能力，加强数学中又一重要数学思想

“数形结合”的领悟。因此，本课题主要研究指导学生自行研究时学生可能所需的方法和性质结论。

【关键词

】

探究

三角函数线

应用

【问题的提出】

关于三角函数线的教学，现行教材中只简单引出它的概念，后续的应用仅在证明诱导公式时出现了一下，而更多的、丰富的三角函数线的综合运用，如比较函数值的大小、给值求角、解简单的三角不等式，证明一些三角关系式及利用它来进一步多角度研究三角函数的性质等，新教材都是通过编写成“探究与发现”这种自行阅读自学的材料把任务交给了学生。新教材编写的意图是很好的，然而在实际教学中，由于新教材的教学任务繁重，教学时间紧迫，加之我校多数学生的数学自学能力和理解力也不强，若放手让学生自己去完成这些研究任务根本就行不通，所以教师必须加以引导。

数形结合思想是中学数学中的重要数学思想，在教学中应不失时机地加以渗透.教学中，我们希望除让学生去猜、去找三角函数的几何形式(这里指三角函数线),把三角函数线的发现过程展现给学生，而不是教师包办代替外。还希望通过对三角函数线的学习研究，使学生了解数形结合的“形”不单有函数图象，还有其他的表现形式.从而让学生今后在解决有关三角函数的问题时能更加灵活多样。

【研究的方法和手段】

一、学习、总结、反思

二、探究、研读、应用

【研究的内容】

一、利用单位圆中的三角函数线可以很好地解决三角函数中的以下问题：

(1) 运用三角函数线帮助学生进一步理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

(2)利用三角函数线画三角函数的图像。

(3) 运用三角函数线帮助学生记忆特殊角的三角函数值。

（4）运用三角函数线帮助学生理解三角函数的基本性质。

（5）运用三角函数线帮助学生推导、理解和记忆诱导公式。

（6）解简单的三角方程。

（7）解简单的三角不等式，进一步用于求函数的定义域。

二、相关的研究措施

（一）、认真研读《2017全国新课标高考考试大纲（数学）》

1、从《大纲》的文字表述中掌握重点难点，在大胆地删减一些不必要的内容的同时，又对一些具有增长点的知识开展探究性学习活动。

2、从《大纲》中获取有关信息，引导学生通过课堂学习或自主学习获得必要的知识、方法，从而提升综合能力。

（二）、根据《大纲》研读教材

1、对教材中的（研究活动）以学生为核心，探索自主、合作、探究的学习方式。

2、结合《大纲》认真备课，有效组织自主学习，培养学生发现问题、研究问题、行成结论、解决问题的能力。

（三）学以致用，培养兴趣，提高效率.

通过疏理三角函数线的种种应用，重视知识间的内在联系，完善知识组块把握基础，增强思维能力。通过研究这些题目的命题思路、思维价值、知识要求等等。这样，一方面在解题过程中深化理解知识，更为重要的是思维能力得到训练和提高，最终能在有限的教学时间里熟练地驾驭新教材，提高教学的效率和质量。

【研究的过程】

1、单位圆中的三角函数线，是研究三角函数的一种十分有用的工具。我们的学生学习三角函数知识的时候普遍感到它头绪多,公式多,容易混淆,不便记忆。但是,如果把其中很多知识(如三角函数的定义及其在各象限的符号,同角三角函数间的关系,诱导公式,反三角函数及最简三角方程的解等)都可以与单位圆、三角函数线联系起来,这就清楚地显示出它们的几何意义,由于直观现象，从而可加深理解。

2、利用单位圆中的三角函数线可以很好地解决以下问题：

（1）

运用三角函数线帮助学生进一步理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

实际上，理解正弦线、余弦线、正切线的过程也是进一步理解和消化正弦函数、余弦函数、正切函数定义的过程。这个过程是从一般到特殊的一个认识过程，经历了这一过程，学生对三角函数定义和定义域的认识会更深刻、更清晰。

sinyMP其中，cosxOM

yMPATATtanATxOMOA1(2)利用三角函数线用几何法画三角函数的图像。

对于角x，作正弦线MPsinx，让学生深刻理解正弦函数图象上每一点(x,sinx)即(x,MP)的形成和绘制过程，从而正确理解正弦函数ysinx的图象，进而拓展到对余弦函数ycosx和正切函数ytanx图象的认识。

（3）运用三角函数线帮助学生记忆特殊角的三角函数值。

我们可以要求学生通过想象，再结合动画显示(见上图)，弄清楚三个变化过程：当从0逐渐增大到2时，正弦线、余弦线、正切线的变化过程。

角

正弦线MP

032 22 01010

( 增大 ) ( 减小 ) ( 增大 ) sin

角

余弦线OM

032 22 10101

( 减小 ) ( 增大 ) cos

角

正切线AT

00+(tan2232 23不存在)-0

2不存在)0(tantan

( 增大 ) ( 增大 ) ( 增大 ) 3通过这三个变化过程，记住0、、、、、、这七个特殊角的正弦值、余弦值、正切值，64322避免了混淆，效果很好。

（4）运用三角函数线帮助学生理解三角函数的基本性质。

通过想象三角函数线的变化过程很容易得到三角函数的定义域、值域、最小值、最大值、周期性、奇偶性、单调性和单调区间等基本性质，并且由于这种想象过程是直观形象的，是运动变化的，是生动有趣的，因而可达到深刻理解、牢固记忆的效果。

例如

:

①

值域:因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以

｜sinx｜1，｜cosx｜1，即1sinx1，1cosx1

也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］

②周期性: 自变量每增加2(即角旋转一周)，正弦函数值(MP)、余弦函数值(OM)重复出现；

③

奇偶性: 角与角-对应的正弦线、正切线关于x轴对称，余弦线重合，因此正弦函数、正切函数为奇函数，而余弦函数为偶函数；

④

其它如定义域、最值和单调性可借助(2)中列表看出。

[配套练习] 1、利用三角函数单调性比较下列各组数的大小：

45； (2)cosπ和cosπ；

77399(3)tanπ和tanπ； (4)sin和tan. 8755(1)sin 1和sin说明: 比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线.学生自己画图，从图中的三角函数线加以判断.三角函数线是一个角的三角函数值的

“图形表示”，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值.

（5）运用三角函数线帮助学生推导、理解和记忆诱导公式。

学习诱导公式的难点在于准确记忆公式和灵活运用公式。通过以下的学习可以突破记忆难点. [教学片断实录] 师：当角为锐角时，、2、、

的终边与角的终边有何种位置关系？

生：与的终边关于原点对称，与的终边关于y轴对称，、2终边相同且都与的终边关于x轴对称。

师：若为任意角，以上对称关系还成立吗？

生：成立。

师：请同学们在平面直角坐标系内作出角与，再画出它们的正弦线、余弦线、正切线。

生：按每四人一组进行分组，每小组的四个同学分别画出角在一、二、三、四象限中的一种。画好后观察角与的正弦线之间、余弦线之间、正切线之间各有何关系。

小组内相互交流，再推代表发言。

小组一：我们发现角与的正弦线的长度相等，余弦线的长度相等，正切线重合。

小组二补充：我们也发现了与小组一相同的结论，不过我们还发现角与的正弦线方向相反，余弦线方向也相反。

师：很好，还有补充吗？

小组三：由此可得公式sin()=-sin，

cos()=-cos，

tan()= tan。

师：能证明上述公式吗？

……

反思：以上教学过程让学生亲自动手画三角函数线，再观察发现，总结公式。由于有了“三角函数线”这个几何图形的支撑，公式通过直观形象自然而然地引入，学生理解更为轻松，记忆更为深刻。这个过程充分地调动了学生的积极性，突出了学生的主体地位，体现了新课程改革的基本理念。

另外，还可以利用三角函数线帮助学生理解记忆sin2+cos2=1等公式，结合学生的已有知识经验，运用“最近发展区”理论，可提高学习效率。

（6）解简单的三角方程

（7）解简单的三角不等式，进一步用于求函数的定义域。

[配套练习]

2、根据下列三角函数值，在单位圆中求作角a的终边，然后写出相应角的取值集合.

111； (2)cos=； (3)tan=－1 ； (4)sin＞. 22211分析：(1)已知角的正弦值，可知MP=，则P点的纵坐标为.所以在y轴上取

221(0，)，过这点作x轴的平行线，交单位圆于p1，p2两点，

2(1)sin=则op1，op2是角的边因而角a的取值集合为

｛｜=2kπ+

(2)因为OM=11，则在x轴上取点(，0)，过该点作x轴的

225,或=2kπ+π,k∈Z｝.如图4. 66垂线，交单位圆于p1，p2两点，op1，op2是所求角的终边，

的取值集合为｛｜=2kπ±,k∈Z｝.如图5. 3

(3)在单位圆过点A(1，0)的切线上取AT=－1,连续OT，OT所在

直线与单位圆交于p1，p2两点，op1，op2是角的终边，

则角的取值集合是

｛｜=2kπ+37,或=2kπ+π,k∈Z｝

443=｛｜=kπ±π，k∈Z｝如图6. 4

(4)这是一个三角不等式，所求的不是一个确定的

角，而是适合条件的角的范围.如图7，作出正弦值

等于11的角的终边，正弦值大于的角的终边与

22单位圆的交点在劣弧p1p2上，所以所求角

的范围如图7中的阴影部分，的取值集合是

｛｜2kπ+5＜＜2kπ+π,k∈Z}

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