2.3.1 变量之间的相关关系教案和学案内容

2.3.2 两个变量的线性相关

信宜市二中高一数学集备组

朱国勇

一、教学目标

1、会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量的相关关系。

2、了解最小二乘法思想，根据给出数据求线性回归方程斜率、截距及线性回归直线

3、线性回归直线方程的简单应用

二、教学重点和难点

1、重点

（1）散点图，会利用散点图认识变量的相关关系

（2）求回归直线方程，明确线性回归直线方程的意义

2、难点

求线性回归方程斜率与截距，明确线性回归直线方程的意义

三、教学过程

1、新课探究：在一次对人体脂肪含量和年龄的研究中，研究人员获得了一组样本数据：

年龄

脂肪

年龄

脂肪

表2-3

人体的脂肪百分比和年龄

23 27 39 41 45 49 9.5 53 29.6 17.8 54 30.2 21.2 56 31.4 25.9 57 30.8 27.5 58 33.5 26.3 60 35.2 50 28.2 61 34.6

问（1）两个变量是函数关系还是相关关系？

（2）如何更直观反映两个量的相关关系？

2、新知识引入：看图找知识

〈1〉散点图

〈2〉点分布有什么特点

点分布在左下角到右上角的区域，一个量变大，另一个量也变大，称这两个量为正相关

点分布在左上角到右下角的区域，一个量变大，另一个量也变小，称这两个量为负相关

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3、判两变量相关关系

观察下列散点图，两个变量变化有什么特点？

(设题目的：用散点图判两变量相关关系，也为引入回归直线做铺垫）

4、新知识讲解

〈1〉我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线，该直线方程叫回归方程。

问题：那么，我们该怎样来求出这个回归方程

〈2〉几个求回归直线的方案

方案1、先画出一条直线，测量出各点与它的距离，再移动直线，到达一个使距离的和最小时，然后测出它的斜率和截距，得回归方程。

方案2、在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数基本相同

方案3、如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距。而得回归方程。

〈3〉问题：我们还可以找到更多的方法，但这些方法都可行吗?科学吗？准确吗？怎样的方法是最好的？

答：我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强，人们经过长期的实践与研究，已经找到了计算回归方程的斜率b与截距a的一般公式: n

xiyinxy

i1

bnx,y

为x,y的平均数2

2xinx

i1



aybx

信宜二中高一数学集备组

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以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。回归直线方程为：y=bx+a

〈4〉注意

（1）回归直线具有随机性，不同的样本数据会得到不同的回归直线及方程。

（2）对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程.如果一组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的

nxiyinxyi1bn2，

2〈5〉思考：回归直线方程为：y=bx+a，其中xnxii1aybx

问（1）求回归直线方程，我们先要解决什么数据？

问（2）xiyi、xi是怎样运算的

2i1i1nn〈6〉例题讲解：求回归直线方程

例2：观察两相关变量得如下表,求两变量间的回归方程

x y -1 -9 -2 -7 -3 -5 -4 -3 -5 -1 5 1 3 5 4 3 2 7 1 9

(设题目的：熟用公式求回归直线方程）

〈7〉例题小结：求线性回归直线方程的步骤：

第一步：计算

x，y，

xy，xiii1i1nn2i；

第二步：代入公式计算b,a的值；

n

xiyinxy

i1

x,y

为x,y的平均数bn22

xinx

i1

aybx

第三步：写出直线方程y=bx+a 〈8〉强化练习

（1）、下表是某医院用光电比色计检验尿汞时，得到的尿汞含量（毫克/升）与消光系统的一组数据：

尿汞含量x 消光系数y 2 64 4 138 6 205 8 285 10 360 信宜二中高一数学集备组

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（2）如果x与y之间具有线性相关关系，求回归直线方程

(设题目的：熟用公式求回归直线方程）

〈9〉思考：（1）回归直线过点（x，y）吗？

（2）正（负）相关时回归直线倾斜角是钝角还是锐角？

〈10〉练习：

(2)

已知变量x与y正相关，且由观测数据得样本平均数x3，y3.5，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（

）(设题目的：深化回归直线与点（x，y）关系）

A、y0.4x2.3

B、y2x2.4

C、y2x9.5

D、y0.3x4.4

(设题目的：深化回归直线与点（x，y）关系）

〈11〉问1：回归直线方程有什么用？

答：回归直线方程反映一个变量对另一个变量的数学表达式，通过一个变量的值来

预测另一个变量的可能结果

练习

(3)：

正常情况下，年龄在18岁到38岁，体重y（kg）对身高x（cm）的回归方程

为y0.72x58.2，张刚同学20岁身高178cm，则他的体重应该有

kg。

(设题目的：明确回归直线方程的现实意义）

问2：通过回归直线方程预测的结果一定与现实相符吗？

答：不一定。算出的结果仅为预测性，非必然结果

综合练习

(4)：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：

3 2.5 （1）请画出上表数据的散点图；

x

y

4 3 5 4 6 4.5 （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa；

（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据问题（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤。

（参考数值：32.5435464.566.5）

(设题目的：2007年广东高考题，综合练习，与高考接轨）

5、归纳小结

（1）、会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量的相关关系。

（2）、了解最小二乘法思想，根据给出数据求线性回归方程斜率、截距及线性回归直线

（3）、线性回归直线方程的简单应用

6、课后作业练习

练习：课本P94A组3

作业：课本P94A组4 信宜二中高一数学集备组

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