2.1.2 向量的几何表示教学目标设计

高一数学

《

平面向量的实际背景及基本概念》教学案例

福州七中

蔡秋燕

一、教学设计说明

著名数学家和数学教育家G·波利亚曾精辟的指出：“数学有两个侧面，一方面，它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学像一门系统的演绎科学：但另一方面，创造过程中的数学，看起来像一门实验性的归纳科学。要全面提高学生的数学素质，就要在教学中充分体现它的两个侧面，既重视数学内容的形式化、抽象化的一面，又重视数学应用，数学发现、创造过程中具体化、经验化的一面，而后者对于数学的基层教育显得更为重要。

本课题与旧教材相比，增加了生活中的实例，特别是物理中的例子，为构建“向量”这概念的必要性提供了依据。

笔者用powerpoint等软件制作了多媒体课件，采用了“观察、探究—归纳、概括—类比—应用”的教学模式，通过物理等方面实例引导学生把实际问题抽象为数学问题，利用类比思想得出向量概念，从而自然地引入课题。

二、三维目标：

（一）知识与技能

1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；

2．掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；

3．会区分平行向量、相等向量和共线向量. （二）过程与方法

1．通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 2．理解相等向量和共线向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量

（三）情感态度与价值观

1．通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，从数学的角度思考生活中实际问题的习惯. 2. 加强数学的应用意识,切实做到学以致用. 3. 用联系、发展的观点观察世界。

三、教学重点、难点

1、重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

2、难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

四、教学过程：

（一）情景设置：

如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有大小的量. 同学们能否指出哪些量既有大小又有方向？例如，图中物体受到的重力方向是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是向左的，被压缩的弹簧的弹力是向右的，并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大。

回顾学习数的概念，我们可以从一枝笔、一棵树、一本书等中抽象出只有大小的数量“1”.类似地,我们可以对力、位移等这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的量，就是我们今天要学习的向量。揭示课题（展示课件）

（二）新课学习：

1、向量与数量概念

向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

物理学中常称为矢量。

数量的概念：只有大小，没有方向的量称为数量。如年龄、身高、面积、质量等。物理学中常称为标量。

思考：时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？

指出：向量的两要素——大小、方向

2、请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）

向量该如何表示呢？请同学阅读课本后回答下面问题：

1、

数量与向量有何区别？

2、

什么是有向线段？

3、如何表示向量？

4、“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？

5、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

7、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

8、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？

C A B D

3、探究学习

（1）、数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. （2）、有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. B a （3）、.向量的表示方法：

①用有向线段表示，如

②用字母ａ、ｂ（印刷用黑体。手写时为了区别，一定要在上面

加个箭头！）等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：向量AB；

④向量AB的大小即向量AB的长度称为向量的模，记作|AB|.

（4）、不对。向量不是有向线段，只是可以用有向线段来表示

向量与有向线段的区别：

①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关；

②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. （5）、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0.

0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. （6）、平行向量

平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥A(起点) （终点）

ｃ. （7）、相等向量定义：

（Ⅰ）长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关. ．．．．．．．．（Ⅱ）单位向量不一定是相等向量，还要方向相同。

（8）、共线向量与平行向量关系：

是平行向量，这时各向量终点在一条线上。也就是说任一组平行向量都可移到同一直线上（向量与有向线段的起点无关）。因此，平行向量也叫共线向量

．．．．．．．．．．．（说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系）. 4、理解和巩固：

例1、口答题：

（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）

（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（长度相等且方向相同）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

例2、下列命题正确的是（

）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，

所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C. 例3 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中与向量OA相等的向量. 想一想：向量OB 与AF相等吗？为什么？

变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量OA共线的向量有哪些？（CB,DO,FE）

课堂练习：

判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

（1）若向量a与b同向

且

则a＞b （2）若向量a与b的模相等则a与b的长度相等且方向相同或相反

（3）对于任何两个向量

若模相等且方向相同，则两向量相等

（4）由于零向量方向不确定，故0不与任何向量平行

（5）向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点一定在同一直线上

（6）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量

（7）向量AB与向量BA的长度相等

（8）若向量AB= 向量CD，则四边形ABCD是平行四边形

（9）四边形ABCD是平行四边形，则向量AB= 向量CD. 延伸：1、向量AB平行向量CD，能得到什么结论？

2、若向量AB平行向量AC，又能得到什么结论？

得出证明三点共线的又一种方法。

（三）、小结

：（由学生完成）

1、向量及向量的有关概念（注意向量与数量的区别，数量只有大小，可以

比较大小；向量有方向及大小，具有双重性，不能比较大小）

2、向量的表示方法；（3种。注意向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素；与起点无关；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。

3、两个特殊向量：零向量与单位向量；

4、向量间的两种关系：平行向量（共线向量）和相等向量

（注意向量平行与线段平行的区别）。

（四）、课后作业：

书本86页习题2.1第3、4、5、6题

专 家 点 评

整个过程教师教态非常自信，从容不迫。本课的特点是概念多且杂，就如秋燕老师自己所说的采用了“问题式”教学，能在问题中把相关的、易混易错的概念教授得很清楚，总体上把握住了概念课的特点。举例中能紧扣概念，把易混易错的概念加以区别，使学生达到真正的理解。对重点、难点的把握也很正确、到位。

背景的处理（即引入部分）很好，很有趣。其实可以深入说明，生活中处处有向量，突出构建“向量”这概念的必要性。例题的层次比较丰厚，是优点也是缺点。

优点是能很好的丰富学生的知识结构，缺点是学生的思考空间被压缩了，可适当精减一些题。最后一个问题的延伸是个“亮点”，只是小结部分过于匆忙。

付晋玖（福州教育学院）

教 学 反 思

结合评课、专家的意见及学生学习效果反馈情况，进行认真思考，形成以下认识：

（一）准确把握教材

本课采用了“问题式教学”的学习形式。本课虽然概念多且杂，但难度不大。根据新课程标准和理念，注重提高学生的数学思维能力，提倡积极、主动、勇于探索的学习方式。另外，例题选取中不仅有易混易错概念的辩析，还有生活实际问题，使学生体验数学在解决实际问题中的作用，数学与日常生活及其它学科的联系，旨在发展学生数学应用意识。这些都是与新课程标准的要求相吻合的。

（二）给学生探究的时间与空间

科学教学要以学生为主体，要以学生的主动探究为核心。本课在教学中力求体现这样的理念。以问题链形式给出问题，让学生通过阅读课本寻找答案。从时间上来说，保证了学生探究的时间，把课堂交给了学生，使探究的理念较好地落实在了课堂上。从学生的反映来看，学生有了自己的思想，培养了自己的阅读能力。 对例题中是是而非概念的辩析，巩固了有关概念，发展了学生的发散性思维与创造性思维。对最后一题的延伸，拓展了学生思维的空间，培养了学生对知识间联系的重视。若能精减一些练习题，那么学生就有更多的时间和更大的空间去消化吸收所学知识，对本节内容进行很好的小结，从而完善自己的知识结构。总之，整个课堂气氛活跃，学生们自始至终保持了较高的讨论思考问题的兴趣和热情，显示了学生学习的积极性和自信心，奠定了实现课堂教学目标的良好基础。

（三）课堂效率与容量

本课一开始以“猫追逐老鼠”为例展示情境，有趣，有新鲜感，提起了学生的学习兴趣，激发了学生的学习热情。跳动的画面吸引了学生的注意力，提高了课堂45分钟的效率。利用多媒体课件进行教学，节省了例题与课堂练习的板书时间，大大地增加了课堂容量，提高了课堂效率。

这一节课上下来，我觉得比较成功的是学生真正“动”起来，思维“活”起来。开放式的教学让学生在“玩”中学知识，在“悟”中明方法，在“交流”中自主探究、完善知识结构。同时还存在一些不足处，在今后的教学过程中，还需要不断探索、反思、积累、总结才能成就学生，成就自我。