复习参考题第二课时教案

《三角函数》复习课教学设计

南安国光中学

傅伟敬

三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一.在高考中主要考查对三角函数概念的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他知识(如立体几何、解析几何、向量等)相联系，考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的高考命题原则.三角函数是高考的热点和重点，近几年，高考减弱了对三角函数恒等变换的考察，而加强了对图像和性质的考察。我们研究函数，是由图像总结性质，再由性质去解决问题。本节内容复习巩固三角函数的公式、性质，在于解决问题中渗透知识点的汇总应用。

教学目的：

1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 3.能利用单位圆中的三角函数线推导出

，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y＝sin x，

y＝cos x ，

y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性. 4.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数的单调性. 5.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1 等

6.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx＋

φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响. 7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换。

教学重点：

1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用；

2.三角函数的图象与性质，y＝Asin(ωx＋)(ω＞0)的性质、图象及变换；

3.用三角函数模型解决实际问题；

4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力；

教学难点：

1.任意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系；

2.灵活运用三角公式化简、求值、证明；

3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法；

4.探索两角差的余弦公式；

教学过程

一、

知识梳理

1.任意角三角函数的定义

2.同角三角函数的基本关系式

3.诱导公式

4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质

二、题型探究

1、三角函数概念

终边上，则 =______ 例1：已知点P(1,2)在 6sin8cos3sin2cos反思与感悟：(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：

①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.

②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0).则sin α＝

，cos α＝

.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.

跟踪训练1

已知角α的终边过点P（-4m，3m），（m＜0），则2sinα+cosα的值是______．

2、同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用

yr

例2

已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，

θ∈(0，2π).求：

π23πcos2－θsin2＋θ(1)π＋；

1＋tanπ－θcos－θ＋cos－π－θ2(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及 ＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.(2)诱导公式可概括为k· ±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.

跟踪训练2：

已知f()tan()cos() 2）；（1）化简f（ 31cos()（2）若 ，求f（ ）的值．是第三象限角，且 253、三角函数的图象与性质

例3

将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标π缩短到原来的3倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝3sin x的图象. sin()cos(2)tan()

研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.

跟踪训练3

函数πf(x)＝3sin2x＋6的部分图象如图所示. 

(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求ππf(x)在区间－2，－12上的最大值和最小值. 

4、三角函数的最值和值域

π例4

求函数y＝－2sin(x＋6)＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值. ππ跟踪训练4

已知函数y＝asin(2x＋6)＋b在x∈[0，2]上的值域为[－5，1]，求a，b的值. π例5

已知|x|≤4，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值. 跟踪训练5　已知函数f(x)＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a，b的值.

5、数形结合思想在三角函数中的应用

πm例6

已知方程sin(x＋3)＝2在[0，π]上有两个解，求实数m的取值范围. 跟踪训练6

设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0).πππ2ππ若f(x)在区间[6，2]上具有单调性，且f(2)＝f(3)＝－f(6)，则f(x)的最小正周期为

.

三、课堂训练

31.若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝4，则a的值为

A.43

B.±43 43C.－43或－3

D.3 sinπ－αcos2π－α31π2.已知f(α)＝，则f(－3)的值为

cos－π－αtan α1A.2

1C.－2

1

B.－3

1

D.3

3.函数y＝|sin x|＋sin|x|的值域为A.[－2，2] C.[0，2] B.[－1，1] D.[0，1]

4.函数ππf(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，－2＜φ＜2的

部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是

πA.2，－3

πC.4，－6

π

B.2，－6

π

D.4，3

5.已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤ 对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围.

四、小结

三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.