探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期PPT专用教学设计内容

《三角函数的图象与性质》教学设计

三角函数的知识逻辑从本质上说就是函数的知识逻辑。

在三角函数的教学中，是否能够讲出函数的味道，是否能够用函数的思维进行教学成为摆在我们教师面前的一个问题。按道理这似乎不应该成为问题，三角函数既然是函数，难道还讲成别的什么不成？但在教学的实践中，的确有许多教师并不是按照函数的知识逻辑进行三角函数教学的。从“角的扩充”到“弧度制”、再到“角的终边的表示”，从“诱导公式”到“用单位圆表示三角函数的值”，看不到函数的影子，感受不到自变量的变化是如何影响到因变量的变化的。明明讲的是函数，但谁是自变量教师讲不出来、学生对此也漠不关心；即使是在讲“三角函数的图象与性质”的时候，也是没有一点函数的味道：如讲正弦函数图象的周期变换就类似

“纵坐标不变，横坐标缩短为原来的二分之一或增大为原来的一倍”；讲函数的图象变换规律就是“左加右减”等等。这种缺乏函数知识逻辑的三角函数的教学是无法真正完成其教学任务的。

事实上，三角函数中的自变量是角，角的度量使用弧度，即是用半径的长度来刻画角所对的弧的长度的倍数，也就是实数。随着角的变化，三角函数的值发生变化，但是如何得到三角函数值的呢？并不像其它函数那样，有一个明确的和自变量有直接关系的函数的解析式，而是通过比值的形式来刻画某一个角的某种形式的三角函数的函数值。如正弦函数的值是通过角的终边上的任意一点（除坐标原点外）的纵坐标与此点到角的顶点（也就是坐标原点）的距离之比来刻画的。显然，这个比值随着角的终边的改变而发生变化，也就是函数的自变量的变化引起因变量的变化。但是从位置的角度看角的终边变化的范围也就是旋转一周，不论角的大小如何，终边的不同位置也就是体现在3600的范围内。尽管此时角的大小的变化范围是全体实数集合,但这个特点从几何位置上看就是周而复始重复出现。这个几何上的特征反映在代数上，就是函数的周期性。也就是当函数的任意自变量增加某一个常数的时候，所对应的函数值相等。三角函数具有周期性的原因就在于其自变量是角这一独特的变量，按照角的定义，角的大小可以不同，但角的终边的位置却能不断地重复。正如函数的周期性的概念所揭示的那样，当函数的任意自变量增加或减少同一个常数的时候，函数值总是相等。

如何理解三角函数的单调性呢？是不是必须画出三角函数的图象才能判断

三角函数的单调区间呢？我们一定要在教学中给学生传达出正确的知识逻辑：研究函数不论是什么类型的，都是以函数的解析式作为研究函数性质的最基本的载体。函数性质的研究可以借助其图象，但函数的图象绝对不是函数性质的根本，因为函数的图象是依据函数解析式画出来的，归根结底函数的所有性质都是由对应的函数解析式来确定。因此，研究正弦函数单调性的时候，要让学生能够从其函数解析式出发去感受当自变量也就是角发生变化的时候，正弦函数的值是如何增加或减少的。看函数图象来确定三角函数的单调区间看似简单、直观，但教学的价值并不在于此。这也许就是三角函数的知识逻辑所决定的。

要想让学生能够用数学的思维思考数学问题，教师自己首先要能够遵循数学的知识逻辑进行教学。照搬书本的教学不可能讲出数学学科的特色，也不可能形成授课教师个人的教学风格。

在进行“正弦型函数yAsin(x)的图象与性质”的教学的时候，很多教师所写的标题是:参数A,,对函数yAsin(x)图象与性质的影响”。在进行课堂小结的时候，也常常这样板书：“A的作用：影响函数值发生变化；的作用：引起平移变化；的作用：引起周期变化”。按照这样的逻辑，正弦型函数yAsin(x)的性质似乎是由参数A,,来决定的。果真如此吗？

取不同的值，对应的是不同的三角函数的解析式。解析式不同，函数的性质包括图象当然会有差异。但对于一个确定的，函数的解析式是已经确定的了，其性质由它的自变量确定是无庸置疑的。

振幅A与相位的不同的取值包括符号的改变，对应的也是不同的三角函数解析式，相对于ysinx来说，当然是有变化的，也就是所谓的振幅变换和相位变换。但我们要清楚的是这种变换讨论的是不同函数之间的相互关系，单就某一个确定的函数来说，其性质完全由它的自变量x来确定。

如果研究两个不同的函数，其性质是由系数或者说是参数决定的吗？例如函数ysin2x的图象可以看作是将函数ysinx的图象朝y轴压缩一半而得到的。这个现象可以通过计算机用几何画板课件直观地演示出来，也可以通过三角函数的计算周期的公式T2来进行解释。但是这都不是从问题的本质上进行分析，

都是用结论来解释结论。我们应该能够从这两个函数的自变量的取值之间的关系及相对应的函数值是否能够相等去思考。实际上，函数ysinx与ysin2x的自变量都是x，当函数ysinx的自变量取x的时候，函数ysin2x的自变量只要取x，即ysinx的自变量x的一半的时候，其对应的函数值与函数ysinx的2值相等，这就是“将函数ysinx的图象朝y轴压缩一半”的根本原因。这种分析方法的思维逻辑是依据函数的思维逻辑进行的，是通过两个函数的自变量的关系及相对应的因变量的关系来得出的,这种思考问题的逻辑具有普遍意义。

同样，对于ysin(x), ysin(x)与函数ysinx的图象之间的关系的分析不能简单地概括为“左加右减”。而是要让学生能够从两个函数之间的关系去认识这个现象。也就是当函数ysinx的自变量取x的时候，ysin(x)的自变量只需要取x，其对应的两个函数的值就能够相等。显然，在x轴上，因此对应的函数ysin(x)的图象在ysinx的图象的左侧，x在x的左侧，相当于是把ysinx的图象向左移了个单位，也就是所谓的“左加”。同理，当函数ysinx的自变量取x时，函数ysin(x)的自变量只要取x，两个函数对应的函数值都是相等的。由于在x轴上，坐标x在x的右侧，所以ysin(x)的图象是把函数ysinx的图象向右移了个单位。

三角函数是研究函数周期性的重要模型，让学生通过三角函数的学习理解函数的周期性的概念是三角函数教学最为重要的任务。但是我们在教学中是不是真的能够帮助学生从函数的思维逻辑去掌握周期函数的本质呢？

在关于函数周期性的概念的这节课的设计上，不少教师都会选用自然界中重复出现、周而复始的一些现象作为教学引入的例子。如一年四季的变化、太阳的日出和日落、一周七天等等。但是这些实际的例子所起的作用仅仅是感受这种周而复始变化的现象，并没有能力去揭示这些现象发生的原因是什么。这样的引入所发挥的作用是不到位的，因为在随后的函数周期性概念的教学中，教学的难点不是“重复出现”这一现象，而是要能够理解得出这一现象的本质。也就是函数

的自变量是如何变化导致函数值总是相等的，从而使得函数图象周期性地重复出现的。

如何理解函数yf(x)满足f(x)f(xT)时周期为常数T呢？一些教师只是让学生记住这一形式，并通过套用这一形式去求函数的周期。如函数yf(x)满足f(2x1)f(2x3)时，教师让学生设2x1u,则2x3u4,从而将函数yf(x)满足的已知条件改为f(u)f(u4)，这样才知道函数yf(x)的周期为4。这种形式化的理解数学概念是不利于学生准确理解概念的内涵，是对函数思维逻辑的一种干扰。实际上，函数yf(x)满足也就是当这个函数f(2x1)f(2x的含义的解释是遵循着函数思维逻辑的，3的自变量分别取2x1和2x3时，它们对应的函数值相等。由于这两个自变量相差4个单位，因此函数yf(x)的周期为4。

2014年北京数学高考理科试题14题让我们能够感受到三角函数知识逻辑的魅力: ππ设函数f(x)Asin(x)，A0,0。

若f(x)在区间[,]上具有单调62性，且

π2πfff23π，则f(x)的最小正周期为________。

6π6。如π2πfff3

解决问题的关键在于如何理解条件中的等式2果认为这个等式是为了用待定系数法求A,,的话，就要陷入到复杂的运算中，但问题是这样的思维逻辑是有问题的，没有能够依据函数的解析式f(x)Asin(x)所承载的函数的性质来理解和认识这个等式。问题出在对正弦型函数的性质的认识上。

如图，结合f(x)Asin(x)的图象，我们知道，这个函数有丰富的对称性和周期性。函数值相等有可能是关于直线对称的性质决定的，也可能是由于周期

性质得到的，或者是由这两条性质共同作用得到的，由于题目有“若f(x)在区ππT2[,]…T3，由间62上具有单调性”的条件，也就告诉了我们2263，即2f()f()3，而此就可以判断函数值相等是由什么性质造成的了。即由于2227f()f()x326，因此23反映的是函数关于直线对称的性质。直线12是ππ[,]函数f(x)Asin(x)的一条对称轴。同样因为f(x)在区间62上具有单调性，f()f()6，这个相反的函数值一定是由中心对称因此函数值相反有两组，选2(,0)(x)性质决定的。因此点3是函数f(x)Asin的一个对称中心，由于73T7x(,0)1231242，这就说明12与3是函数f(x)Asin(x)相邻的对称T741234，即T。

轴与对称中心。所以三角函数yAsin(x)的图象与性质是三角函数的核心知识，要能从图形与代数运算两个角度来认识三角函数的性质，并能运用三角函数的思维逻辑去分析问题和解决问题，是三角函数教学的重要任务。。