阅读与思考 三角学与天文学名师教学实录

高一数学同角三角函数的基本关系

教学设计说明：

1.本节课立足于在任意角的三角函数定义，三角函数定义域，三角函数在各象限的符号有一个较明确的认识的基础上，从而对同角三角函数的基本关系知识进行有的放矢的教学。主要采取了这样几个层次教学。第一层次，复习三角函数的定义，为学习同角公式打下基础；第二层次，从角α的三个三角函数式中，让学生观察出之间关系，总结出两个公式；第三层次，这两个公式的特点是同一个角α不同的三角函数值之间的关系，因此要注意公式的特点．在记忆公式中，还要注意它们变形形式的应用；

2.弄清知识结构间的来龙去脉，突出重点知识和能力要求，渗透重要数学思想.

学习目标：

1.知识目标：

（1）掌握同角三角函数的基本关系式，并能够根据一个角的三角函数值，

利用上述公式求这个角的其他三角函数值；

（2）利用同角三角函数的基本关系式解决化简与求值问题；

（3）利用同角三角函数的基本关系式证明三角恒等式；

2.能力目标：

（1）牢固掌握同角三角函数关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；

（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形

的能力；

3.德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；

教学重点：公式

和

的推导及其应用。

内容分析：

本节主要涉及到两个公式，均由三角函数定义推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用、掌握各种恒等变形的技能、技巧．要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用．

教材中给出了同角三角函数间的三个基本关系式．其实根据这三个基本关系还可以变形得到一些基本关系．

如:由

得: , 同样可以有:

，

，

等等,可以引导学生和用三个基本关系进行转换，培养学生的自主学习习惯．

教材中的两个基本关系式，只有：sin2 +cos2 =1是绝对恒等式，即对于任意实数

都成立,另外公式,仅当

取使关系式的两边都有意义的值时才能成立．因此，在运用这些公式进行恒等变形时，角的允许值范围有时会发生变化是不奇怪的，在教学中可经常提醒学生注意这一点．

这组公式的灵活运用是本节教学的难点．灵活运用的前提是熟练掌握公式．弄清它们的来笼去脉是解决这一问题的有效方法．从“左”到

“右”或从“右”到“左”运用公式，最后达到灵活运用，同时要明确它们成立的先决条件．教材中指出：“在第二个式子中

时，式子两边都有意义；在第三个式子中，α的终边不在坐标轴上,这时，式子两边都有意义，”并指出：“除特殊注明的情况外，也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式．”这段话学生是不太容易理解的，教师应适当加以解释．首先应让学生分析等式两边的三角式的取值范围，并从中发现，两边的取值范围经常是不相同的，如果一个等式在这两个数值集合的交集上总能保持相等，那么这个等式就是恒等式．因此，每一个恒等式并不是对任何值都能保持相等，所以可以认为，这组公式的成立也是有条件的，公式后面括号里给出条件是不容忽视的．

教学过程：

一、

复习引入：任意角的三角函数定义，定义域，三角函数在各象限的符号。

二、

质疑与共议：

1．导入新课引导猜想：

2．理论证明：（采用定义）

3．点题：同角三角函数的基本关系。

4．注意点：①注意“同角”，至于角形式无关重要，如

等；

②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如

；

③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：

，

，

等。

三、

架构与迁移：

例1：已知

，且

是第二象限角，求cos ,tan 的值

解：∵是第二象限角，∴

，

∴

说明：在三角求值过程中应尽量避免开方运算，在不可避免时，先计算与已知函数有平方关系的三角函数，这样可只进行一次开方运算，只进行一次符号的说明；

例2：已知

，求sin ,cos 的值。

例3：化简：

说明：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常常将式子中的“1”作巧妙的变形。

例4：已知sin =3cos , 求（1）

（2）

（3）

的值。

分析：（1）为了直接利用

，注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以

,将分子、分母转化为

的代数式

（2）可利用平方关系

，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为

的分式求值；

例5：求证

说明：证明一个等式，可以从它的任何一边开始，证得它等于另一边；还可以先证得另一个等式成立，从而推出需要证明的等式成立．

四、巩固练习：课本P18第2--6题

五、课堂小结：

1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；

2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；

3．在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。

六、

布置作业：课本P23第7、9、10、12题

七、板书设计（略）

八、课后记：

九、教后反思：

1．这节课的知识容量不算太大，而且内容较易，但题型较多，为了能更好地帮助学生消化理解该知识，突破难点，为此我们备课组准备了多媒体课件。在教学过程中，采用通过教师的引导，学生的分组交流、归纳等环节较成功地完成了教学目标，收到了较好的效果。但还存在着不尽人意的地方，由于课的内容容量较大，对于有些知识点，如“证明等”，本应给学生（尤其是平行班的学生）更多的时间练习、讨论，以帮助理解消化该知识，但为了赶时间，学生的这一活动开展

的不充分，课堂气氛不够活跃，个别学生的主动性、积极性没有充分调动起来。这是今后教学中应该注意的问题。

2．帮助学生树立“化归”

“分类讨论”的思想

（1）化未知为已知.

例如公式把求一个角的三角函数值化归为求其它三角函数值；如1的问题来处理；

（2）等价化归.例如进行三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式.