阅读与思考 相关关系的强与弱特级教师教学实录

《阅读与思考

相关关系的强与弱》教学设计

授课教师：余树宝

执教班级：高一（5）班

任教学校：合肥工业大学附属中学

教材分析：

本课内容是人教A版必修三第二章《统计》第3节《变量间的相关关系》第三课时的教学内容，是在第一课时学习“变量之间的相关关系”、第二课时学习“两个变量的线性相关”的基础上的进一步深化，旨在使学生从定量的角度判定两个具有相关关系的变量的相关性的强弱，进一步培养并发展学生的数学运算和数据分析的数学素养．

教学目标：

1．体会用散点图直观地判断两个变量相关性的强弱；

2．会根据两个变量的相关系数的计算公式r(xi1nix)(yiy)n(xi1n衡量两个变ix)2(yiy)2i1量之间相关性及线性关系的强弱；

3．通过讲练结合、师生互动的教学实践，培养学生发现和提出问题，并应用知识分析和解决问题的能力；通过两种方法判断相关关系的强弱比较，培养与发展学生直观想象、数据处理、数学运算等数学核心素养．

教学重点：

会根据相关系数的计算公式衡量两个变量之间线性相关关系的强弱．

教学难点：

相关系数的计算．

教学方法：

讲练结合法、信息技术融合法．

教学准备：

PPT课件、EXCEL表等．

教学过程：

一、复习引入

【问题1】何为两个变量的相关关系？

变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系．

两个变量之间的关系可分为函数关系和相关关系．

【问题2】什么叫正相关与负相关？

正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．

负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．

【问题3】粮食产量与施肥量之间的相关关系是正相关还是负相关？

在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高，所以是正相关．

【问题4】如何判断的？

根据自己的生活经验、学习经验作出的判断．

第

1 页

共

6 页

【问题5】怎样数学地判断一组数据是否具有线性相关关系？

画出散点图，若样本点大致分布在一条直线附近，就说明这两个变量具有线性相关关系，否则不具有线性相关关系．

【问题6】什么叫散点图？

将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描绘在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图．

【问题7】一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：

转速x(转/秒) 每小时生产有缺点的零件数y(件) 16 11 14 9 12 8 8 5 判断它们是否有相关关系，若有，判断是正相关还是负相关．

解析：散点图如图所示：

近似直线如图所示：

由散点图可以看出两个变量对应的点大致分布在一条直线附近，因此可以得出结论：每小时生产有缺点的零件数y(件)与机器运转速度x(转/秒)这两个变量具有相关关系，且它们是正相关关系．

总结：在研究两个变量之间是否存在某种关系时，可以散点图入手．

对于散点图，可以作出如下判断：

（1）若所有的样本点都落在某一函数曲线上，则就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；

（2）若所有的样本点都落在某一直线附近，则变量之间就有线性相关关系；

（3）若散点图中的点的分布几乎没有什么规律，则这两个变量之间不具有相关关系，即两个变量之间是相互独立的．

【问题8】每小时生产有缺点的零件数y(件)与机器运转速度x(转/秒)这两个变量具有相关关系，相关强度如何？用什么来衡量呢？

二、新课讲练

统计中，我们用相关系数来衡量两个变量之间相关关系的强弱．

（一）概念讲解

1. 相关系数

散点图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度．

第

2 页

共

6 页

于是，著名英国统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数(Correlation coefficient)．

相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标．相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数．

2.两个变量的相关系数的计算公式

r(xi1nix)(yiy)n(xi1n

ix)2(yiy)2i13.衡量办法

（1）当r0时，表明变量x,y正相关；当r0时，表明变量x,y负相关．

|r|的越大，|r|的越小，（2）表明变量x,y相关性越强；表明变量x,y相关性越弱．具体说，

若0|r|0.30，则相关性较弱或几乎没有什么关系；

若0.30|r|0.75，则相关性一般；

若0.75|r|1，则相关性很强．

【思考】|r|1吗？

柯西不等式：设a1,a2,,an,b1,b2,,bn为实数，则

(a12a22an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)2，

当且仅当bi0(i1,2,,n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2,,n)时等号成立．

根据此不等式得

2n22(xx)(yy)(xx)(yy)iiii

，

i1i1i1所以nn(xi1nix)2(yi1niy)(xix)(yiy)，

2i1n于是|r|1．

（二）知识应用

例1

根据下面四个散点图及相关系数的值，说说变量间的相关性强弱．

第

3 页

共

6 页

图1中的点有明显的沿直线分布趋势，r0.97也说明两个变量正相关，且相关性很强．

图2中的点也有明显的沿直线分布趋势，r0.85也说明两个变量负相关，且相关性很强．

图3中的点的分布几乎没有什么规则，不能用线性回归模型来描述两个变量之间的关系，r0.24也说明两个变量相关性很弱．

图4中的点的分布更没有什么规则，更不能用线性回归模型来描述两个变量之间的关系，r0.05也说明两个变量几乎没有什么关系．

例2

一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：

转速x(转/秒) 每小时生产有缺点的零件数y(件) 16 11 14 9 12 8 8 5 （Ⅰ）根据散点图判断它们是否有相关关系，若有，判断是正相关还是负相关．

（Ⅱ）根据相关系数的值，判定它们是正相关还是负相关及相关性的强弱．

问题（Ⅰ）：前面已经解决．

问题（Ⅱ）：在EXCEL中，利用函数CORREL来计算相关系数．

x y 变量

数据1 数据2 数据3 数据4 相关系数

16 14 12 8 0.9954 11 9 8 5 由相关系数表明，两个变量是正相关，且相关性很强．

（三）课堂练习

练习1

为了分析学生的物理、政治与数学成绩的关系，请从给出的几位同学近期考试的数学与物理、政治成绩，利用相关系数来判定物理与数学、政治与数学是否具有相关性，是正相关还是负相关？相关性的强弱如何？

序号

1

2

3

姓

名

孙琛

陈雨馨

严喻骁

语文

102

102

83

数学

106

80

107

英语

80

89

89

物理

95

73

83

化学

85

84

78

生物

68

83

66

政治

85

80

89

历史

74

72

77

地理

64

62

48

第

4 页

共

6 页

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

99

87

90

79

87

88

92

80

73

86

65

71

67

41

50

72

71

71

76

67

70

50

61

56

88

75

88

80

77

91

76

81

91

78

77

86

43

63

50

64

42

68

36

71

58

32

55

48

60

67

38

57

49

56

64

54

51

53

44

40

35

51

52

42

43

39

35

40

44

41

34

40

68

75

84

58

58

44

69

51

52

72

72

60

74

71

67

54

60

48

50

53

47

54

54

61

54

56

50

60

72

50

54

44

44

54

52

52

判定物理与数学、政治与数学是否具有相关性，是正相关还是负相关？相关性的强弱如何？

分析结果：

0.445

数学与物理

正相关

相关系数

0.206

数学与政治

正相关

【思考】比较练习1与练习2的结果，有什么困惑？为什么数学与物理、政治相关性强弱有明显的变化？

需要指出的是，相关系数有一个明显的缺点，即它接近于1的程度与数据组数n相关，这容易给人一种假象．因为，当n较小时，相关系数的波动较大，对有些样本相关系数的绝对值易接近于1;当n较大时，相关系数的绝对值容易偏小．特别是当n=2时，相关系数的绝对值总为1．因此在样本容量n较小时，我们仅凭相关系数较大就判定变量x与y之间有密切的线性关系是不妥当的．

另外，相关系数也与样本有关，因为样本是随机的．

三、归纳总结

请同学们总结本节课主要的学习内容．

1.相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标．

2.两个变量的相关系数的计算公式：

r(xi1nix)(yiy)n(xi1n

ix)2(yiy)2i13.衡量办法：

（1）当r0时，变量x,y正相关；当r0时，变量x,y负相关．

（2）|r|的越大，变量x,y相关性越强；|r|的越小，变量x,y相关性越弱．

若0.75|r|1，则变量x,y具有很强的相关性．

四、作业布置

1.请根据我班48名学生本学期期中考试的成绩，分析学生的哪一科成绩与数学成绩的相关性最强？

2.请根据我班48名学生本学期期中考试的成绩，分析学生各学科成绩间的相关关系，找到相关性最强的两个学科．

第

6 页

共

6 页