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《勾股定理及逆定理》

专题复习教学设计

一、知识梳理：

1．叙述与证明两个定理：推荐阅读资料：勾股定理的16个证明方法

（1）勾股定理的证明：常用方法：面积法。

（2）勾股定理逆定理证明：构造一个直角三角形与已知三角形全等全等。

2．拓展结论：

（1）熟悉十个常见直角三角形：（⊿ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，a≤b≤c）

A B C

三边整数

3 5 7 8 9 4 12 24 15 40 5 13 25 17 41 含15°、30°、45°角

勾股成整数倍

1 1 2

na nb nc 1 3

1 2+3

62

1 2 5

1 3 10

2 练习：已知：⊿ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，a≤b≤c。心算后填表：

A 9 12 10 ？

？

15？

153

x=？

5

445B C ：

（2）⊿ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，则斜边上的高h=（3）边长为a的等边三角形面积=（4）⊿ＡＢＣ中，，a≤b≤c；

32a

4ab

c12 36 ？

na nb nc 12 ？

？

20 20 25 ？

25

45 ？

24 ？

6 7.5 3

？

1 3 ？

2x=？

4 6

若c2＜a2b2，则∠Ｃ＜９０°；

若c2=a2b2，则∠Ｃ=９０°；

若c2＞a2b2，则∠Ｃ＞９０°

（5）四边形两对角线互相垂直，长度分别为m,n,则四边形面积为＝ 。

（6）直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c, 那么三条内角平分线的交点到三边的距离为 。

1

（7）如图，在RtABC中，A90,D为斜边BC中点，DEDF, 则EF2BE2CF2. 4.

掌握勾股定理的几个基本应用：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边：

（2）已知一个或两个直角三角形的三边关系，应用勾股定理列方程（组）：

如：折叠、空间图形最短距离，

注：常需要构造直角三角形，与三角形、四边形、完全平方公式等重要知识并用，应用勾股定理列方程（组）

（3）勾股定理及逆定理并用：求角、线段、不规则图形面积等。

（４）构造直角三角形，与相似、锐角三角函数、四边形、、圆、一次函数、反比例函数、二次函数等重要知识并用，应用勾股定理列方程（组）（常在在平面直角坐标系下，建立线段与点的坐标的联系。）

二、经典题欣赏：

（一）动手操作：

1. 求直角坐标系中，点（-3，-2）与点（2，4）的距离。

2．矩形OABC的边OA长为2 ，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是

．

5米

3米

（第15题图）

3.

如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?

4.利用图5（1）或图5（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为

，该定理的结论其数学表达式是

．

图5（1）

图5（2）

2 图6

（二）构造直角三角形：

如图1,某市为方便相距2km的A、B两处居民区的交往，修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB），经测量，在A处的北偏东60°方向、B处北偏西45°方向的C处有一半径为0.7km的圆形公园，问计划修筑的公路会不会穿过公园？为什么？

分析：关键是求点C到AB的距离CD，即CD的长是否大于0.7，大于0.7则不会穿过公园，小于0.7则会穿过公园．

解：过C作CD⊥AB于D，则∠CAB=30°，∠CBA=45°．

在Rt△CDB中，∠CBA=45°，所以BD=CD．

在Rt△CDA中，∠CAB=30°，所以AC=2CD．

设CD=DB=x，则AC=2x．

由勾股定理得AD=3x．

因为AD+DB=2，所以3xx2．

所以x31≈0.7320.7．

所以计划修筑的这条公路不会穿过公园．

（三）由勾股定理构造方程：

4．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．•已知DA=10km，CB=15km，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，•求E应建在距A多远处？

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