阅读与思考 三角学与天文学教案3

§3.1.1方程的根与函数的零点

教学目标：

知识与技能

理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．

过程与方法

零点存在性的判定．

情感、态度、价值观

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

教学重点：

重点 零点的概念及存在性的判定．

难点

零点的确定．

教学程序与环节设计：

结合二次函数引入课题．

创设情境

二次函数的零点及零点存在性的．

组织探究

零点存在性为练习重点．

尝试练习

进一步探索函数零点存在性的判定．

探索研究

研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符

号，并尝试进行系统的总结．

重点放在零点的存在性判断及零点的确定上．

作业回馈

环节

课外活动

教学过程与操作设计：

教学内容设置

师生双边互动

师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相创

设

情

境

应的二次函数的图象：

21方程x2x30与函数yx2x3

○22方程x2x10与函数yx2x1

○23方程x2x30与函数yx2x3

○222

二次函数又怎样？

函数零点的概念：

对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点．

函数零点的意义：

函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数组

织

探

究

根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标．

即：

方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

函数零点的求法：

求函数yf(x)的零点：

1

（代数法）求方程f(x)0的实数根；

○2

（几何法）对于不能用求根公式的方程，可○

师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：

1

代数法；

○2

几何法．

○以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

二次函数的零点：

二次函数

yax2bxc(a0)．

１）△＞０，方程axbxc0有两不等

环节

教学内容设置

实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

２）△＝０，方程axbxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

３）△＜０，方程axbxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数f(x)x22x3的图组

织

探

究

象：

1

在区间[2,1]上有零点______；

○222师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．

师生双边互动

生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．

生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．

师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．

生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．

师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．

f(2)_______，f(1)_______, f(2)·f(1)_____0（＜或＞）．

2

在区间[2,4]上有零点______；

○f(2)·f(4)____0（＜或＞）．

（Ⅱ）观察下面函数yf(x)的图象

1

在区间[a,b]上______(有/无)零点；

○f(a)·f(b)_____0（＜或＞）．

2

在区间[b,c]上______(有/无)零点；

○

．

f(b)·f(c)_____0（＜或＞）3

在区间[c,d]上______(有/无)零点；

○．

f(c)·f(d)_____0（＜或＞）

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？

怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．

环节

教学内容设置

师生互动设计

例

题

研

究

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计例1．求函数f(x)lnx2x6的零点个数．

算器来画函数的图象，问题：

结合图象对函数有一1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

个零点形成直观的认2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数识．

的单调性具有什么特性？

生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结32例2．求函数yx2xx2，并画出它合图象确定零点所在的大致图象．

的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．

1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

（1）x3x50；

（2）2x(x2)3；

（3）x4x4；

尝

试

练

习

（4）5x2x3x5．

2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：

（1）f(x)x33x5；

（2）f(x)2xln(x2)3；

（3）f(x)ex14x4；

（4）f(x)3(x2)(x3)(x4)x．

2222

师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．

1．已知f(x)2x47x317x258x24，

请探究方程f(x)0的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．

2．设函数f(x)2ax1．

（1）利用计算机探求a2和a3时函数x探

究

与

发

现

f(x)的零点个数；

（2）当aR时，函数f(x)的零点是怎样分布的？

环节

教学内容设置

师生互动设计

1．

教材习题3．1（A组）第1、2题；

2．

求下列函数的零点：

（1）yx25x4；

（2）yx2x20；

（3）y(x1)(x23x1)；

（4）f(x)(x22)(x23x2)．

3．

求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：

作

业

回

馈

（1）y12x2x1；

3

（2）y2x24x1．

4．

已知f(x)2(m1)x24mx2m1：

（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点；

（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m的值．

5．

求下列函数的定义域：

（1）y（2）y（3）yx29；

x23x4；

x24x12

2课

外

活

动

2研究yaxbxc，axbxc0，

ax2bxc0，ax2bxc0的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达．

考虑列表，建议画出图象帮助分析．

收

获

与

体

会

说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤．