2.5.2 向量在物理中的应用举例教学设计与反思

《向量在物理中的应用举例》教学设计

潮州市金山中学

谢燕娜

一．教材分析与教学思路分析

本节课是选自人教A版数学教材必修四第二章第五节第二部分的内容，学生在学习本节课之前，已经学***面向量在几何中的应用，也学完了向量的线性运算和数量积运算，这为本节的学习做好了知识的储备和方法的积累。学以致用，作为第二章最后的内容，本节课需要学生将前面所学知识和方法应用到实际的物理问题解决中，这对学生知识的迁移能力和应用能力提出了较高的要求。因此在教学过程中，我们教师应该着重引导学生如何针对实际问题剥去物理背景，理清物理量之间的关系，从而抽象成数学模型。

本节教材从力学和运动学两个角度给出了两道例题,教材给出的解法都是从几何角度求解，解题的突破点是要抽象出精确的几何模型，并找到已知量所构成的直角三角形。要求学生能够观察并抓住图形特征，适当地还需要做一些辅助线，这个过程的思考其实对于学生来讲有一定的难度。

另外，教材在例题的解答中没有给出详细的推导过程，但是两道例题的关键信息都出现了向量的模长和夹角。联系学生前面所学的知识，在用向量方法解决涉及长度和夹角问题时，一般会考虑用向量的数量积。

基于以上分析，对本节的设计本人采用了与教材不同的解法，即从代数角度来求解。通过向量的数量积解决问题，让学生认识到向量是可以运算的量，在物理背景中抽象出几何模型之后，可以用

向量的运算得到物理量的模长和夹角的关系。这样就降低了学生由图思考的难度，让学生深刻体会向量运算的优越性。

我国著名数学家华罗庚先生说过“数缺形时少直观,形缺数时难入微”。在用代数法解决教材例题之后，为了弥补“少直观”的缺点，我让学生自主阅读教材，比较并找出教材解法与本节所用代数法的异同和特点。数入微，形直观，从“数”与“形”两个方面加深对数学问题解决方法的认识和理解，扩展学生的思维视角，过程渗透数形结合思想。

特别地，为了让学生直观感知重物所受拉力随两臂夹角的变化情况，和小船过河航程变化情况，本节设计了两个几何画板的动画演示文件。例题3通过动画演示，直观验证了两臂夹角越大越费力，夹角越小越省力的结论。例题4的动画演示，直观地解释了“行驶航程最短”的意义，即此时船的实际行驶航向是垂直于河岸，合速度也应当垂直于河岸。

二．教学目标

1.知识与技能：

（1）能将物理问题转化为向量问题；

（2）会用向量的加法、减法和数量积运算解决向量问题；

（3）能用向量运算的结果来解释物理现象。

2.过程与方法：

（1）通过实例，让学生体会如何将物理量之间的关系抽象成数学模型；

（2）通过向量的运算解决物理问题，同时比较教材的几何解法，让从“数”与“形”两个方面加深对数学问题解决方法的认识和理解，扩展学生思考数学问题的思维视角，过程渗透数形结合思想；

3.情感、态度与价值观：

（1）由生活经验和物理背景引入数学问题，让学生体会不同学科之间是相互联系的；

（2）让学生自主完成教材的“探究”问题并阐述解答思路，培养学生的自主探究和积极参与的精神；

（3）用几何画板动态演示两臂拉力随夹角的变化过程，和小船过河航程变化的过程，直观生动地展示信息技术在数学教学中的运用，提高学生的学习兴趣。

三．教学重点

将物理问题转化为向量问题，用向量的基本运算解决问题，并用向量运算的结果来解释物理现象。

四．教学难点：

如何把物理问题转化为数学问题，即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型。

五．教学过程

（一）复习引入

1.数量积的定义：

非零向量a，b的数量积定义为

ababcos其中是两个向量的夹角。

注意：这里提示学生，涉及两个向量的模长和夹角问题，一般借助数量积求解。为新课做好知识准备。

（二）思考与探究

思考1：这里分成3个小问题，逐个提问：

（1）

在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹

角越大越费力？

（2）

在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力？

（3）你能从数学的角度解释这个现象吗？

注意：引导学生从上述前两个问题中抽象出如下图所示的几何模型。

θ

F1

F2

G

由向量加法的平行四边形法则，得到下图，进一步提问：此时拉力随着夹角如何变化？

F

θ

F2

F1

G

用几何画板动画演示重物所受拉力随两臂夹角的变化情况。引导学生注意观察图中各个量的变化，并提问学生能否总结出规律。

注意：进一步提示学生，由图得到的结论不够精确，能否通过向量的运算来得到已知量之间的量化关系？

引导学生继续思考下面问题。

思考2：假设两只手臂的拉力大小相等,即

F

1



F

2，夹角为



，

,G

的关系式？

你能否推导出

F1

,

解:由向量加法的平行四边形法则及

力的平衡,得F1F2FGF1F2GF θ

F1

2F2

由向量数量积，得F1F2GF12F1F2cosF2G2F1(1cos)GF1G2(1cos)222222G ,[0,)

小结：涉及两个向量及其夹角问题，借助向量数量积运算进行求解

F

变化时，探究1：由所得的式子，你能否说明当

1

如何变化？F1G2(1cos),[0,)

让学生观察分析，并提问学生回答问题。

解：由上式，经过分析可知，

当由00~1800逐渐变大时，cos的值由大逐渐变小，F1的值逐渐变大。所以F1，F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力。

探究2：（1）θ为何值时，

F

1

最小，最小值是多少？

（2）

F

1

能等于

G

吗？为什么？

让学生自主探究，合作交流，分析出结论，并让两个学生板书解答问题。

结论：

GFcos（1）在上式中，当

0

时，



最大，

1

最小且等于

2

1（2）在上式子中，当

cos







, 即θ=120 º

时，

F

1



G

20（三）例题剖析

例题4

如下图所示，一条河的两岸互相平行，河的宽度

d＝

500 m，一艘船从

A 处出发到河对岸.已知船的速度|v1|＝10 km/h，

水流的速度|v2|＝2 km/h，问：当船的行驶航程最短时，船所用

的时间是多少(精确到

0.1 min)?

问题1：船沿着什么方向行驶，才能使行驶航程最短？

A

用几何画板动画演示，小船过河航程变化情况。

让学生观察：船应沿着什么方向行驶，才能使行驶航程最短？

经过分析，抽象出如下图所示的数学模型

v10,v2,且vv,求v.22问题2：已知

1解：由向量加法的平行四边形法则，有

v1v2vv1v2v22v1v2vv=？

? v1

A v2

注意：本题在解答过程中，不是直接给出正确的推导过程，而是做v

2

放在等式同一边求解，发v1

和了一点错解的尝试。先尝试着把现这两个向量夹角未知，没办法求解数量积，转而引导学生寻找已v

v知夹角的两个量，即

2和

。让学生体会并不是随意取数量积的运算，都能解决问题，关键是要将已知夹角的两个量放在等式同一

边，才能求出这道题的正确答案。

v10,v2,且vv,求v.22问题2正解

已知

1分析：涉及两个向量及其夹角问题，借助向量数量积

解：由向量加法的平行四边形法则，有

22v1vv2vvv21vv2vv2022222v1vv2v2vv2v2vv22v46100v4v1v2vv1vv2v1

2v=？

A v2

d0.5所用时间为t603.1(min)v46答：当船的行驶航程最短时，船所用的时间是

3.1 min.

（四）比较深化

1.让学生思考：以上两道例题都是借助向量数量积的运算来求解，与课本给出的解法有什么不同？

2.分组讨论：课本的解法是如何推导出来的？

F A B θ

O G F1

F2

v=？

v1

A v2

v1

例题3课本解法：

在右图所示RtOAB中，OAcosF A B F1

θ

O F2

2OB即F1cos22FF1F2cos2,G 由力的平衡，有

FGF1G2cos200,[0,180)

例题4课本解法：

由于3个速度所表示的3个向量构成一个直角三角形，故由勾股定理可以求出实际行驶速度。

解：|v|＝|v1|2－|v2|2＝96(km/h)，

d0.5所以时间t＝|v|＝×60≈3.1(min)．

96v1

v=？

v1

A v2

小结：这里可以给予学生一定的时间思考总结，从几何角度和代数角度比较得出本节课的解法和课本解法的不同点，突出代数解法，即用数量积来求解的优势。

（五）练习巩固

1.平面上三个F1,F2,F3作用于一点且处于平衡状态，F11N,620F2N,F1与F2的夹角为45，求：F3的大小.22.一条河的两岸平行，一艘船从A处出发到河对岸，已知船在静v2＝2㎞/h，如果船沿与v1＝10㎞/h，水流速度| |水中的速度| |上游河岸成60°方向行驶，那么船的实际速度 v的大小是多少？

v1v60°

v2

（六）课堂小结

1.利用向量解决物理问题的基本步骤：

①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；

②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；

③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；

④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.