2.1.3 相等向量与共线向量PPT配套优秀教学设计内容

2.1平面向量的实际背景及基本概念

2.1.3 相等向量与共线向量 教材分析

向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁。向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥重要作用。本节内容的学习，可以帮助学生理解平面向量中两种常见向量的概念与特点，为今后学***面向量的运算以及应用提供了基础。

学情分析

1、学生已掌握平面向量的基本概念；

2、学生基础薄弱，层次参差不齐，个体差异非常明显；

3、学生思维性、积极性一般，能初步认识抽象思维能力。

目标分析

新的数学课程标准明确指出，数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现。结合学情分析，本节课教学实行以下核心素养：

1、数学抽象——使学生在向量情境中抽象出数学概念，掌握相等向量、共线向量的概念，从而体会数学抽象的核心素养。

2、直观想象——使学生通过几何图形描述向量问题，能理解相等向量、共线向量与平行向量的联系和区别，从而体会直观想象的核心素养。

教学重点、难点

重点:

理解并掌握相等向量、共线向量的概念，能在图形中辨认相等向量和共线向量．

难点：从“相等向量→平行向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点；理解相等向量、共线向量、平行向量的联系与区别。

教学方法

问题引导法，启发式教学

数学思想方法

平移变换及数形结合的思想

教学过程

一、复习引入

问题1：向量与数量有什么联系和区别？

向量有哪几种表示？

问题2：有向线段的三要素是什么？

问题3：什么叫向量的模？零向量、单位向量、平行向量分别是什么概念？

平行中对零向量的规定是什么？

引入向量概念后，我们就要建立相关的理论体系，为了研究的需要，我们必须对向量中某些现象作出合理的约定或解释，特别是两个向量的相互关系。对此我们将作出以下探究。

二、探究新知

探究（一）：相等向量

思考1：因为向量完全由它的方向和模确定．对于两个非零向量a，b，就其模相等与不等，方向相同与不同而言，有哪几种可能情形？ 思考2：我们知道两个向量不能比较大小，只有模相等与不等，方向相同与不同的区别，你认为如何规定两个向量相等？

【得出概念】

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量．

说明：（1）向量a与b相等，记作a（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关. 思考3：对于有向线段AB和CD，如果ABCD，通过平移使起点A和C重合，那么终点B和D的位置关系如何？

（4）在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量。因为向量完全由它的方向和模决定。

（5）向量平移，不会改变其长度和方向。

思考4：向量就是有向线段，有向线段就是向量。这种说法正确吗？

思考5：用有向线段表示非零向量的位置关系有哪几种可能情形？

学生画图寻找答案

A A B C B D b； AB和CD，如果AB=CD，那么A、B、C、D四点C D 探究（二）：共线向量

思考1：如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？

学生：方向相同或相反．

思考2：此时两个向量的关系是什么？

学生：平行向量．

思考3：平行向量所在的直线一定互相平行吗？

学生：不一定. b、c是一组平行向量，任作一条【探究】将向量平移，不改变其长度和方向。如图，设a、OB与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作OAa，b,

OCc,

那么点A、B、C的位置关系如何？

B O C A l

学生：A、B、C三点共线．

教师总结：上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。

【得出概念】

共线向量：平行向量也叫共线向量。这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。

abc思考4：如果非零向量AB和CD是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？

思考5：若向量a与向量b平行（或共线），则向量a与b相等吗？反之，若向量与a向量相等，则向量a与向量

不一定。

bb平行（或共线）吗？

三、理解新知

你能弄清相等向量、平行向量、共线向量三者间的关系吗？

1.平行向量与共线向量是同一概念．

2.相等向量一定是共线向量．

3.共线向量不一定是相等向量。

（注：相等向量与共线向量之间是包含关系）

四、新知应用

例1..判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. (1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

(2)单位向量都相等；

(3)若AB与CD，则A、B、C、D是平行四边形的四个顶点；

(4)模相等的两个平行向量是相等向量；

(5)长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量；

(6)若ab，bc，则ac.

解：(1) 不正确．因为向量可以自由移动．

(2) 不正确．单位向量只是长度相等，方向不一定相同．

(3) 不正确．四点也可以共线．

(4) 不正确．相等向量需长度相等，方向相同；而平行向量不一定方向相同

(5) 正确．方向相反就是平行向量，平行向量即共线向量．

(6) 正确．

【设计意图】让学生能够通过这些问题，弄清向量学习中比较容易混淆的几个基本概念．

【设计说明】师生共同分析，学生自己找出错误的原因．

练1、已知向量a,b,c，若a//b，b//c，则有（

D ）. A. a//c

B. ac

C. a与c不共线

D. 以上都有可能

思考：若在上述题目中添加条件“三个非零向量”，其它不变，应选什么答案？

【点拨】平行向量不具有传递性，但非零平行向量具有传递性。

例2.

如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量．师生活动：学生口答，教师板书．

B A O C D E F 解：OACB

DO，

OBDCEO

OCABED

FO变式一：与向量OA长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量OA长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量OA共线的向量有哪些？（CB,DO,DA,FE）

【设计意图】让学生巩固相等向量与共线向量的概念．

【设计说明】培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯．

五、课堂小结 1．相等向量与共线向量的概念；

2．相等向量、平行向量、共线向量三个概念的区别与联系；

3．数学思想：平移变换、数形结合。

六、课后作业 1、课本教材P77 习题2.1 第3题

2、已知a、 b是任意两个向量，下列条件：(1)ab;(2)ab;(3)a与b的方向相反；

(4)a0或b0；(5)a与b都是单位向量.其中a与b共线的有__________.七、教学评价

1、本节教案能完整地将相等向量、共线向量的概念知识教授给学生，虽然是一节概念课，但不是生硬地直接搬出新概念，而是让学生通过思考，观察，想象，进行师生相互交流推导出新知识，进而进行新知识的应用，有效地培养了学生思考和理解问题的能力。

2、由于时间有限，学生基础薄弱，本节课不能完整展现学生的思维扩散过程，调动不了学生的积极性和参与性。

八、课堂设计

相等向量与共线向量

一、复习引入

二、探究新知

1、

共线向量

2、

相等向量

三、理解新知

四、新知应用

例1、

练1+思考

例2、

变式一

变式二

变式三

五、课堂小结

六、课后作业