复习参考题优质教案设计

三角形“四心”的向量表示

（必修4第二章.平面向量——复习参考题）

阳江市一中

曹琼华

一、教材分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第二章.平面向量——复习参考题。我们已完成第二章新课的学***面向量的相关概念及平面向量的加、减、数乘、数量积运算，并初步体会了平面向量在平面几何及物理中的应用。这节课结合复习参考题中的两道题（第120页第5题、第8题），通过三角形“四心”的专题，在学习三角形“四心”的常见的向量表示过程中，进一步体会平面几何中的向量方法。

二、教学目标与核心素养

课程目标

核心素养

①明确三角形“四心”的定义，A体会类比推理的学习过程，培养触类旁通的思考三角形“三边的中垂线”、学习能力

“三边的高”、“三条中线”及“三条角平分线”为何交于一B培养严谨的逻辑思维能力

C渗透数形结合的数学思想，培养分析问题、点。重点证明“三边的高”交于解决问题的能力

一点，体会平面几何中的向量方法。

②通过例1、例2的学习，熟

悉并掌握三角形“外心”、“重心”的常见向量表示，并结合第120页第5题，体会其应用。通过例3、例4的学习，认识三角形“内心”、“垂心”的常见向量表示。

并通过一组练习题（含第120页第8题），让学生切身体会对向量条件的一般分析过程。

三、教学重点和难点

教学重点：三角形“四心”的常见向量表示。

教学难点：三角形“内心”、“垂心”的向量表示条件的分析。

四、教学过程

教师设计及意图

1、回顾三角形“四心”的定义

学生活动过程

A

（1）外心的定义？引导学生思考

并说明三条中垂线为何交于一

点？

意图：抛砖引玉。

O

B

学生可从几何的角度简单说明三条中垂线为何交于一点

C

（2）垂心的定义？类比外心，引

导学生思考三条高为何交于一

点？并给出证明。

A

意图：让学生体会“向量法”是

解决平面几何问题的一种有力的

B

o

C

已知：如图ABC中，BOAC,COAB工具。一道几何问题，当从几何

求证：AOBC法的角度不那么容易想到的时

证明：BOAC,COAB，候，不防利用向量的运算来尝试

BOAC0,COAB0，

解决。

AOBC(ABBO)(ABAC)

（3）重心的定义？

（4）内心的定义？

意图：简单回顾定义，并要求学

ABABABACBOABBOAC

AB(ABACBO)ABCO0

AOBC

生课后证明“三线”经过一点。或用

“几何法”，或用“向量法”，充分尝

试多一种方法解决平面几何问题的乐趣。

2、三角形“四心”的常见向量表

示的例题。

意图：通过例1、例2的学习，熟悉并掌握三角形“外心”、“重心”的常见向量表示用OA,OB,OC表示，并结合第120页第5题，体会其应用。

例1.

O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，满足 ，则O是△ABC的（

A

）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

例2.

O 是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，

满足 ，

则O是△ABC的（

D

）

A.内心B.外心C.垂心D.重心练习：P120.5（变式）.已知向量OP1OP2OP30,OP1OP2OP31.试判断P1P2P3的形状.

意图：通过例3、例4的学习，认识三角形“内心”、“垂心”的常见向量表示。

并通过一组练习题（含第120页第8题），让学生切身体会对向量条件的一般分析过程。

例3. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满OP=OA+λ(+),λ∈[0,+∞).则足 ABAC|AB||AC|P的轨迹一定通过△ABC的

内心

例4．

O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点

P 满足

OPOA(ABAC),|AB|cosB|AC|cosC则P的轨迹一定通过△ABC的垂心

整理：有关重心、垂心、内心的1.常见向量表示

用AB,AC表示

(ABAC),[0,)是BC边上的中线AD上的

任意向量，过重心.

2.(ABAC)[0,)|AB|cosB|AC|cosC是△ABC的边BC的高AD上的

任意向量，过垂心. 3. (ABAC),R|AB||AC|是∠BAC的角平分线上的任意向量，过内心.

3、题组练习

意图：巩固、提升

练习：

、P120.8ABC中，若满足1

OA

OBOBOCOCOA,则O是ABC的（C）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

、ABC中，若满足2

OBABOAOBOCBC

OCOACA0则

O是ABC的（B）A.内心B.外心C.垂心D.重心

13、ABC中，若PGPAPBPC3

则G是ABC的（D）

.A内心B.外心C.垂心D.重心

4、ABC中，若满足

BCOACAOBABOC0

则O是ABC的（A）内心B.外心C.垂心D.重心

A.

5、已知非零向量 AB与 AC满足

ABACABAC1()BC0且, |AB||AC||AB||AC|2

则△ABC为（ D ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形

C．等腰非等边三角形 D．等边三角形

4、课外拓展

如图，O点在在ABC内部，且有OA2OB3OC0

则ABC的面积与AOC的面积之比是

3

A

O

B

C