复习参考题教案及板书设计

三角形四“心”的向量风采

教学目标：1、了解三角形的四心的内容。

2、掌握三角形的“四心”的向量表达形式。

3、熟练掌握向量表达形式的转换。

教学重点：三角形的“四心”的向量表达形式

教学难点：向量表达的转换和化简

教学过程：

一、导入新课

在近几年高考及各地模拟考试中，出现许多有关三角形四“心”的向量形式的优美考题．使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有了更深刻的认识．特在此分类解析，旨在探索题型规律，以提升同学们的数学思维能力．

二、讲解新课

一、“重心”的向量风采

例1

已知G是△ABC所在平面上的一点，若GAGBGC0，则G是△ABC的（

）．

Ａ．外心

Ｂ．内心

Ｃ．重心

Ｄ．垂心

解析：由题意，得GAGBGC，以GA、GB为邻边作GACB，设GC与AB相交于点D，则D为AB的中点．由GAGBGC，得GCGC，即C，G，D，C四点共线，故G为AB边中线上的点．同理可得G也为AC，BC边的中线上的点，所以G是△ABC的重心．故选（Ｃ）．

，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

例2

已知O是平面上一定点，A)，则P的轨迹一定通过△ABC的（

）．

OPOA(ABAC)，(0，

Ａ．外心

Ｂ．内心

Ｃ．重心

Ｄ．垂心

)时，由于(ABAC)表示BC边上的中线所在直

解析：由题意AP(ABAC)，当(0，线的向量，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心．故选（Ｃ）．

二、“垂心”的向量风采

例3

P是△ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则P是△ABC的（

）．

Ａ．外心

Ｂ．内心

Ｃ．重心

Ｄ．垂心

解析：由PAPBPBPC，得PB(PAPC)0，即PBCA0，所以PB⊥CA．同理可证PC⊥AB，PA⊥BC．∴P是△ABC的垂心．故选（Ｄ）．

，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

例4

已知O是平面上一定点，A

ABAC，(0，OPOA．

)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（

）ABcosBACcosC

Ａ．外心

Ｂ．内心

Ｃ．重心

Ｄ．垂心

ABACABAC，由于BC0，所以AP表解析：由题意APABcosBACcosCABcosBACcosC示垂直于BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．故选（Ｄ）．

三、“内心”的向量风采

例5

已知I为△ABC所在平面上的一点，且ABc，ACb，BCa

．若aIAbIBcIC0，则I是△ABC的（

）．

Ａ．外心

Ｂ．内心

Ｃ．重心

Ｄ．垂心

解析：∵IBIAAB，ICIAAC，则由题意得(abc)IAbABcAC0，∴bcABACACABAI．∵与分别为AB和AC方向上的单位向量，∴AI与∠BAC平abcABACACAB分线共线，即AI平分BAC．同理可证：BI平分ABC，CI平分ACB．从而I是△ABC的内心．故选（Ｂ）．

，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

例6

已知O是平面上一定点，AABAC，(0，OPOA)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（

）．

ABAC

Ａ．外心

Ｂ．内心

Ｃ．重心

Ｄ．垂心

ABAC，∴当(0，)时，AP表示BAC的平分线所在直线方

解析：由题意得APABAC向的向量，故动点P的轨迹一定通过△ABC的内心．故选（Ｂ）．

四、“外心”的向量风采

例7

已知O是△ABC所在平面上一点，若OA2OB2OC2，则O是△ABC的（

）．

Ａ．外心

Ｂ．内心

Ｃ．重心

Ｄ．垂心

解析：若OAOBOC，则OAOBOC，∴OAOBOC，则O是△ABC的外心．故选（Ａ）．

，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

例8

已知O是平面上的一定点，A222222

OBOCABAC，(0，OP)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的ABcosBACcosC2（

）．

Ａ．外心

Ｂ．内心

Ｃ．重心

Ｄ．垂心

ABACOBOC表示垂直于BC的解析：由于过BC的中点，当(0，)时，ABcosBACcosC2向量，所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过△ABC的外心．故选（Ａ）．

三、小结全课

温故而知“心”，总结三角形的“外心”，“内心”‘垂心’‘重心’的向量转换形式。