阅读与思考 三角学与天文学公开课参赛课教案

1.2.1 任意角的三角函数(一) 东方市铁路中学 孙艳芳

教学内容：高中数学人教版必修4第一章第二节内容<<任意角的三角数>> 背景分析：三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型．在数学和其它领域中都具有重要的作用．它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数．本节课以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数。单位圆的几何直观非常有利于构建任意角的三角函数的知识结构。为定义的记忆提供了图形支持；学生理解和掌握好任意角的三角函数的定义是学好后续课程的基础

。

课堂结构设计：（1）以直角三角形为载体的锐角三角函数——

（2）以象限角为载体的锐角三角函数——

（3）以单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数——

（4）

单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数——

（5）

任意角三角函数定义的应用——

（6）归纳小结

学习目标：

知识目标:

1、借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数

(正弦,余弦、正切) 的定义。

2、理解三角函数是以实数为自变量的函数。

3、能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些

简单问题. 能力目标:通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程,培养合情猜测能力,从中感悟数学概念的严谨性与科学性. 情感目标:让学生在任意角三角函数概念的形成过程中,体会函数思想,丰富数形结合经验. 学习重点：任意角的三角函数的定义

学习难点：任意角的三角函数概念的建构过程。

学习过程：

一、复习回顾 提出疑问

问题1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？

A



B B

C Ctan

sincos

1

追问：任意角的三角函数值又该如何求解呢？ （设计意图：从原有的认知基础出发，引出

cos1500?主题，认识任意角的三角函数的定义）

tan3150?

二、探究新知

探究：任意角的三角函数值又该如何定义？它和锐角三角函数的定义有何联系与区别？

A

y

P



C

B

M

问题2：这个直角三角形的三条边与点P的坐标有什么关系？

其中:sin

OM

PM

OP

tan

（设计意图：引导学生用坐标法来研究锐角三角函数）

问题3：对于确定的角α，上述三个比值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？

（设计意图：说明这三个比值与终边上点的位置无关）

问题4：能否找到一个特殊的位置，使得三个三角函数值的表示更简洁？

（设计意图：体现简约思想，并为引出单位圆奠定基础）

单位圆的定义：

sin1200?(x,y)cos

2

问题5：对于一个任意给定的角α，按照上述表示方法，对应的三角函数的值是否存在？是否唯一？

（设计意图：强调任意角的三角函数之间的一

一对应关系为引出定义做铺垫）

三、任意角的三角函数定义 定义：设任意角的终边与单位圆交于点,P(x,y), 则sin=______,

cos=_____,

α的终边

P(x，y)

tan=_______.

四、运用提高

5例1．求的正弦、余弦和正切值. 35问：根据定义，求角的三角函数值的关键是什么？如何找终边和单位圆的坐3标?如何求坐标？

（设计意图：通过例题加深对定义的理解）

问题6:根据三角函数的定义，如何求任意角α的三角函数? 步骤是什么？

方法小结：求任意角的三角函数值的方法步骤

（1）： （2）： （3）： （4）： 例2 ：已知角的终边经过点

O

x

p(3,4)，求角的正弦、余弦和正0切值 .问：根据定义，如何求角的三角函数值？点p0是角的终边与单位圆的交点吗？如何求角的终边与单位圆的交点？问：结果与点的坐标有何关系？

p0

（设计意图：将任意点转化到单位圆上，进一步加深对定义的理解，通过对结果与点的坐标进行比较，得出推广定义，让学生体会三角函数值与点P的位置无关，体会利用单位圆来定义的简洁美）

3

3.定义的推广：

设α是一个任意角，α的终边上任意一点

P的坐标是(x,y)，它与原点的距离是

r(r=x2y2>0)(如图)，那么

sinα=;cosα=;tanα=

.

yxyrrx

练习 1、已知角的终边过点P（-12,5），求的三个三角函数值.

2.已知角的终边上一点P（-4a,3a）（a∈R且a≠0），求的正弦、余弦、正切值.

（设计意图：巩固任意角的三角函数的定义，熟练运用定义求解任意角的三角函数）

五、课堂小结

本节课我们学习了：

1.任意角的三角函数的定义：若角的终边与单位圆交于点P(x,y)，则

sin=______,

cos=_____,

tan=_______. 2.推广定义： 设角是一个任意角，P(x,y)是终边上的任意一点，r是

点 P 与原点的距离,则sin=______,

cos=_____,

tan=_______. 六、作业

1、 课本第20页 习题1.2 A组 2题. 2、已知角的终边在直线y=2x上，求sin, cos，tan值.

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