2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教学设计

《平面向量的正交分解及坐标表示》的教学设计

莆田华侨中学 何高萍

一. 教材分析：

向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化，实现了数与形的结合。向量的内容目的之一是将几何问题的证明转化为学生熟知的数量运算。而向量的坐标运算是实现上述目的的“基础设施建设”。（强调向量应用意识）

二：三维目标

理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的正交分解、坐标表示

1.知识目标：

①使学生理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的正交分解，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程（几何表示---线性表示---坐标表示），会写出直角坐标系内给定的向量坐标，会作出已知坐标表示的向量；

②掌握平面向量的坐标运算，明确一个向量的坐标等于此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

2.能力目标：

①通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；

②通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力。

3.德育目标：

在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。

三、教学重难点：

教学重点：平面向量的坐标表示及坐标运算

突破办法：渗透从特殊到一般的化归，数形结合的思想. 教学难点：对平面向量的坐标表示生成过程的理解

突破办法：设置铺垫，蓄势成渠，注意过程分析. 四、学情分析：

前面学生已经掌握了向量的物理背景和概念，平面向量的线性运算及几何意义，平面向量的基本定理，学生对用基底通过线性运算来表示向量是学习的难点。

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教学中，教师要采取适当的方法，注意启发引导，不要以自己的想法代替学生的想法，不是简单地告诉他们如何写出向量的坐标．要注意引导学生积极参与知识形成的关节点处的讨论、交流等活动,引导学生总结知识获得过程中的思想方法. 五．教学方法：启发式谈话法 授课类型：新授课

六. 教学过程：1、课前准备：通过课前2分钟的复习型微课，复***面向量的基本定理》

2、复习引入：复***面向量的基本定理之后，让学生完成问题1

问题1、如图：在等腰梯形ABCD中，AB//CD,且AB=2CD,MN分别为DC,BA的中点

若ABa,ADb试用a,b为基底表示DC,BC,MN

变式：若NBa,NMb试用a,b为基底表示DC,BC,MN

学生活动：课前预习已完成，用两分钟讨论，看答案是否正确并总结解题心得，然后展示学生作业，由学生来讲解并总结。

设计意图：为了巩固平面向量的基本定理的掌握情况，同时突破学生线性运算的难点，通过“变式”设计互相垂直的向量作为基底，为后续的正交分解埋下铺垫，同时在本节课最后设计此等腰梯形让学生建系设点，达到首尾呼应。教师要抓住每一次在新课中复习旧知的机会。

预设学情：有一部分同学线性运算比较薄弱，无从下手进行线性表示BC，正因为图形对称性，学生可能会连接辅助线，连接辅助线构造三角形，利用三角形法则是我们线性运算的常用方法，

2、学***面向量基本定理告诉我们，一个平面内所有向量可以用同一组基底唯一表示，任何一组基底都可以“统一”整个向量界，以转化与化归为思想达到化繁为简的目标；那么恰当的选择基底（尽可能特殊化的基底），将带来更加便利的向量表示及运算。（承上启下）

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3、新课探究：从物理背景中力正交分解创设情境

设计意图：从物理背景引入正交分解比较自然，学生比较熟悉，同时体现学科的交汇。

4、思考1、什么是正交分解？

不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形，把一个向量分为互相垂直的向量叫做把向量正交分解

思考2、你还能举出几个正交分解的例子吗？

设计意图：激发学生的学习兴趣和学习情感，为新课的自然引入提供契机．数学源于数学，研究好数学更好服务于生活。

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5、探究活动1：平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.探究1、：如图，向量e1,e2是两个互相垂直且长度分别为2，1的向量，向量a与e1的夹角是30°，且何表示？

a4，以向量e1,e2为基底，向量a如OPOAOB1e12e2a3e12e2

OA23OB2

学生自主完成，请代表回答。学生正交分解用互相垂直的向量作为基底，线性表示，学生基本能完成，让学生感受到特殊化得基底表示。

探究活动2：由探究1 变式若该题中基底e1,e2的长度都为1，a表示的结果是什a23e12e21,2么？有何优越性？

计算的值比较方便。

设计意图：让基底夹角的特殊化，模长的特殊化，取单位1，循序渐进地向学生抛出一个接一个的问题，在不知不觉中引出向量的坐标表示，同时体现数学核心素养，从一般到特殊的思想，知识的迁移和类比学习，类比三角函数中单位圆的选取。

6、思考3：我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，类比点的坐标表示，对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？

通过几何画板再次巩固平面向量的基本定理同时揭示在基底确定的情况下，每一个向量与有序实数对是一一对应的。

设计意图：类比点的坐标表示，把基底用特殊的垂直的单位向量，方向与坐标轴的正方向表示一致，引出平面直角坐标系来表示点，把向量从形引出数，通过自己学习向量坐标表示的定义，训练学生自学能力，以及学习的主动性。

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i,ji,j坐标的表示如图， 是分别与x轴、y轴方7、定义学***面直角向相同的单位向量，若以 为基底，则对于该平面内的任意向量a有且只axiyja(x,y)有一对实数x,y，可使这样，平面内的任一向量

都可由x，y唯一确定，我们y

a

在x轴上的坐把（x,y）叫做向量

a

的（直角）坐标，记作①其中，x叫做D标，y叫做a在y轴上的坐标，

①式叫做向量的坐标表示. 注意：向量与坐标一一对应关系，同一坐标系内相同

的向量坐标相等，无论坐标的位置发生怎样的改变。

CAajoixB概念内化：请同学们们用i,j,0坐标表示？（直接口答）

（1）改变a起点的位置，a的坐标是否发生改变

几何画板的直观展示，理论依据就是平面向量基本定理

（2）、以原点O为起点作 点A的位置由谁确定?

由

a唯一确定. OAa

a=xi +yj

OA=xi +yj

的坐标的关系？两者相同

（3）、点A的坐标与向量

a几何画板展示起点特殊化

设计意图：学生思考，讨论，作答。（教师要给学生充足时间，并参与讨论、指导、修整）师生共同剖析定义，注意并理解定义中的关键词：基底的选择，有序实数对。

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8、探究活动3：平面向量的坐标表示

解法1、正交分解易得a2i3j；

bi3j；

c2i2j；

d4ij根据定理对a有唯一和它对应的实数对（2，3），我们称(2，3）为a的坐标，即a=(2，3) 类似地，b(1,3),c(2,2),d(4,1)。

解法2、如图得出A(2,2)B(4,5)即OA2i2jOB4i5j

同理求得b(1,3),c(2,2),d(4,1)

ABOBOA4i5j2i2j2i3j得出结论：

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

A(x1,y1),B(x2,y2),AB(x2x1,y2y1)

设计意图：从数和形两个角度去研究向量是向量的本质体现．（平面向量是数与形的天然结合体，是数形结合思想的自然产物，故从数、形两个角度去思决向量问题既合情又合理）解法2为下节课坐标运算埋下铺考与解BAD60垫。

七：当堂检测，反馈学习效果

1、如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,且AB=2CD,AB=4,

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M,N分别为DC,BA的中点建立适当的坐标系，写A,B,C,D,M,N各点坐标

设计意图：本题刚开始问题1中等腰梯形进行坐标化，建系设点，几何元素代数化，为后续的向量坐标化打下基础，学生建系方式比较多，注意图形的对称性，体现数形结合数学思想

八：当堂检测，反馈学习效果

设计意图：提出一个问题比解决一个问题更重要．通过师生的共同回顾反思，加强师生交流，拓展师生互动的空间，发挥学生的主体作用，使学生有所思，有所悟．培养学生的学习探究能力，概括总结能力．

九：课后作业：校本作业

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【课后反思】

通过这节课的实验，使自己对数学教育的认识上有了提高，课程标准指出：学生应“通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程”，这实际上对我们教师提出了更高的要求：“教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者，组织者和合作者”，因此，上课不止是教会学生如何使用结论，更重要是教会学生如何获得结论。本课是我对这一要求的一种探索与尝试。现总结为以下三个方面。

1、问题的引入，让学生巩固运用已学过平面向量基本定理及线性运算，同时变式改变基底，让基底成垂直角度，特殊化成角为新课的学习埋下伏笔。再从自然的物理背景和生活实际自然引出正交分解，引入比较自然，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验，让学生感觉到自己是数学学习的主人。

2、扮演好“组织者”的角色

在教学过程中，光作好一个“引导者”的角色是不够的。无论过去还是现在，我们所面对的学生层次总有不同，知识背景，实际能力存在差异，组织好教学内容及学习过程，因材施教永远是我们教师需要考虑的问题。同时在现代技术的背景下，数学教学中也出现了越来越多的新技术手段，这些都是对传统教学手段的有益补充，如何用好这些手段，同样需要我们教师用心将其整合到教学过程中去，以期让所有学生都能从中或多或少的有所收获，使学生学习数学、理解数学。

在本节课教学中，多次运用几何画板，为了突破本节课的重点和难点——对平面向量的坐标表示生成过程的理解。通过设置铺垫，蓄势成渠，注意过程分析，通过学生之间的总结出最本质的内容，从而引起每个学生对重难点的理解，达到了较好的教学效果。同时对提高数学核心素养逻辑推理能力有很大帮助。

3、扮演好“合作者”的角色

本节课在教师的不断铺垫不断引导下，学生不断观察和思考中，得到了本课需要学生掌握的结论。因此在数学教学中，教师的活动与学生的活动相互独立又相互依存。我们作为教师，必须把握我们自身所处的位置，充分而又恰当地发挥教师的主导作用，同时要充分发挥和调动学生学习的积极性、主动性。

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