2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学评价实录

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

四川省开江县普安中学

蒋培学

教学分析

在平面向量基本定理的基础上，进一步学习向量的正交分解以及向量的坐标化。在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解，因为在平面上，如果分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底时，这时，对于平面直角坐标系内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj。于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定。这样将向量a都可由有序实数对(x,y)唯一表示，从而实现了向量的“量化”,体现了数学中的“数形结合”的思想，为向量的坐标的运算奠定了基础。

教学目标

1、知识与技能：

（1）理解平面向量的正交分解的概念

（2）理解和掌握平面向量的坐标表示的概念

（3）培养学生探究问题、解决问题的能力。

2、情感态度与价值观：

通过平面向量的正交分解及坐标表示，揭示图形（向量）与代数（坐标）之间的联系。

重点难点

教学重点:

平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示. 教学难点:

平面向量的坐标的理解。

授课类型：新授课

教

具：多媒体

教学过程：

一、

导入新课

思考：平面向量基本定理

N A a M e2 e1 aOMON1e12e2O OM1e1ON2e2即: 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2 ，使a=λ1e1+λ2e2

问：如图，一光滑的斜面上有一个木块，它受到的重力为G

，下滑力为F1

，木块对斜面的压力

F2

，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？其中F1

与F2有什么位置关系？

G=F1+F2 F1⊥F2

二、

新课讲解：

知识点一：平面向量的正交分解: 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

练习1：如图，向量i

、j

是两个互相垂直的单位向量，

向量a与i 的夹角是30°，且|a|=6，以 向量

i

、j

为基底，向量a

如何表示？

很感兴趣的一个问题：

把一个向量a放在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i

、j作为基底，向量a在平面直角坐标系内进行任意平移，看出现什么现象？

结论：把一个向量a

放在平面直角坐标系中，用

i

、j

来表示都是相同的，与向量a的位置无关。

知识点二：平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i

、j作为基底. 则对于任一向量a由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

axiyj

我们把(x,y)叫做向量a的坐标，记作

a(x,y)

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。

与a相等的向量的坐标也为(x,y).

问：

当把向量平移到起点在坐标原点时，这时向量的坐标就是向量终点的坐标有什么关系？

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定。设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

结论：

当把向量平移到起点在坐标原点时，这时向量的坐标就是向量终点的坐标。

（五）课堂小结

1.平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

a=xｉ+yj

2.平面向量的坐标表示:

a=(x,y) 向量a与有序实数对(x,y)一一对应. 注意：向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同。当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同。

（六）作业

1、完成教材第96页的例2； 2、练习册第88页的基础练习第1、2、3、4； 3、预习2.3.3平面向量的坐标运算。

板书设计：

2.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示

1、向量的正交分解

2、向量的坐标表示

小结：

作业：

教学反思：

知识回顾

平面向量基本定理