2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学实录与评析

教学

课题

课程

类型

课时

平面向量的正交分解及坐标表示

新授课

一课时

理论

依据

平面向量的正交分解及坐标表示是平面向量坐标运算的基础，通过平面向量的基本定理的学习引出正交分解的定义，然后由数形结合思想让学生经历平面向量的坐标表示生成过程；

本节课是新课程必修4第二章2.3.2节的内容，课标要求学生会写平面向量的坐标表示，并会坐标运算，本节课是在学***面向量的基本定理后学习的，为后续学***面向量的其它运算垫定基础，同时在学习本节课内容时数形结合思想也很重要；

对学生来说，通过基底互相垂直引出平面向量的正交分解定义不难，但对平面向量的坐标表示生成过程的理解不太容易掌握，因此在给出正交分解定义后，引导学生通过具体数学例子，引导学生观察、归纳、总结出坐标表示；

平面向量的正交分解及坐标表示的定义

教材

分析

学情

分析

教学

重点

教学

难点

平面向量的坐标表示生成过程

知识与技能：

(1)利用几何画板总结平面向量正交分解的定义，体会平面向量的坐标表示生成过程；

(2)会写平面向量的坐标表示，会画向量；

过程与方法：

教学

目标

利用平面向量基本定理给出正交分解的定义并能利用正交分解的定义给出向量的坐标表示，引导学生理解向量兼具“形”和“数”两方面的特征的意义；

情感态度与价值观：

(1)增强学生数形结合的思想；（2）培养学生观察发现归纳总结能力；

教学

方法

学法

渗透

教学

手段

引导发现法、探索讨论法

数形结合思想

多媒体辅助

教学过程设计

教学步骤

教师活动

请同学们拿出导学案，回答预习问题；

复***面向量基本定理知识

1、共线向量基本定理；

2、平行四边形法则作两个向量和的步骤；

3、平面向量基本定理的内容；

学生活动

设计意图

对一维的共线向量基本定理和二维平面向量基本定理可以更好地引出1、由学生总结3a、-3a与a的大小、方向间的关系总结共线向量基本定理；

2、由学生口述平行四边形法则作两个

向量的和的步骤；

3、由多媒体展示，学生口述利用平行四边形法则分解平面内的任意一个向量的步骤，学生齐答平面向量基本定理的内容；

1、由几何画板展示平面内任意一个向量如何被分解为两个不共线的向量，并提问学生两个向量的夹角的取值范围，由于基底是两个不共线的向量，则两个创设问题情境，引入新课

向量的夹角的范围改变，但是在两个不共线向量的夹角范围内特殊角是90；

2、平面内的任意一个向量能被分解为两个互相垂直的向量吗？引出平面向量正交分解的定义；

3、规定两个特殊的基底i、j的大小方向；

平面向量正交分解及坐标表示，为后续知识的学习起到承上启下的作用；

1、学生看几何画板教师将两个不共线的基底的夹角变成特殊角培养学生的数形结合思想，观察、归纳总结的能力；

90，学生总结平面向量正交分解的定义；

y b

y 给两个单位向量下定义，为后a

c

x 0 续学生利用平面向量基本定理给出向量的

引出平面向量的坐标表示

1、用向量i、b、c；

j表示a、2、给出平面向量的坐标表示的定义；

3、写出a、b、c及特殊向量i、j、0的坐标表示；

引导学生利用平面向量基本定理构造平行四边形，分别写出向量被分解为

坐标表示的定

义进行铺垫，培养学生观察、归与i、进而写出向j共线的向量的表示，纳总结的能力，量；

并由教师给出向量的坐标表示后学生写出向量的坐标表示；

的能力；

小组合作探究，利用平面向量提高学生分析问题、解决问题起点在坐标原点的1、观察上述练习的a、b、c有什么共同特征？

1、a、b、c有相同的起点，起点为坐标原点；

向量的坐标表示

2、你能总结起点在坐标原点的向量的坐标与此向量的终点坐标间有什么联系？

1、写出下列向量a、b、c的坐标；

2、起点在坐标原点的向量的坐标就是此向量的终点坐标；

基本定理得出结论；

y y 考查学生对起点在原点的向a巩固练习

b0 cx 交给学生做，学生总结；

量的坐标及向量的画法的考

2、画出起点在原点的两个向量，其中查；

d(4,2),f(5,4)；

已知起点A(如何求向量),终点B(的坐标表示呢？

)，由特殊到一般的过渡，先总结1、学生利用平移的思想发现将 起点在原点处的起点平行移动到坐标原点，点A的横纵坐标分别减去x1和y1变成原点O(0,0),因此B点的横纵坐标也减去向量的表示，再总结起点不在y B A 平面内任一向量的坐标表示

0 x x1与y1，则AB(x2x1,y2y1)；

原点的向量表

2、学生利用平面向量基本定理将分解为与i、j共线的两个向量；

AB示，为后续的向量坐标运算垫定基础。体现出数学的由特殊到一般的思想。

师问：你能总结如何求起点不在原点向量的坐标表示吗？

y y 分别用基底

反馈练习

通过练习，考查学生对起点不i,j表示图中向量b

ca a,b,c,d

，并求出它们的坐标. d

x 为坐标原点的向量的坐标表示的掌握情况；

学生利用两种方法写出a、b、c、d的坐标；

1、若a=（2,3）的终点在原点，则a的起点坐标 ; 2、若巩固练习

0 考查学生对本节课的掌握情况，其中利用数形结合的思想a(x2,3)与b(1,y2)相学生独立完成；

等，则x= ; y= ; 3、已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、（3,4）,则顶点D的坐标 ；

解决向量的问题；考查学生对向量兼具“数”和“形”两方面特征的理解；

板书设计

课题：§2.3.2 一﹑平面向量的正交分解；

二、平面向量的坐标表示；

1、平面向量的坐标表示的定义；

axiyj(x,y)

2、起点在原点的坐标表示

若终点A(x,y),OA(x,y)

3、起点不为坐标原点的坐标表示

若起点A(x1,y1)，终点B(x2,y2)，则AB(x2x1,y2y1)