复习参考题公开课教学设计模版

第二章小结与复习

例1．给出下列等式：

(1)a·0＝0；

(2)0·a＝0；

(3)若a，b同向共线，则a·b＝|a|·|b|；

(4)a≠0，b≠0，则a·b≠0；

(5)a·b＝0，则a·b中至少有一个为0；

(6)若a，b均是单位向量，则a2＝b2.

以上成立的是________

1

→→→

例2. 已知O是△ABC所在平面内一点，

D为BC边的中点，且2OA＋OB＋OC＝0，那么(

)．

→→→→→→→→

A.AO＝OD

B .AO＝2OD C.AO＝3OD

D．2AO＝OD

→→→→→→→

解析：OB＋OC＝2OD，∴2OA＋2OD＝0.∴AO＝OD.

答案

A

例3.已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|等于(

)．

A．1

B.2

C.5

D.6

→→→解析：设OA＝a，OB＝b，以OA、OB为邻边作▱

OACB，则a－b＝BA.

∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，∴▱OACB中，OA＝1，OB＝2，BA＝2，

→

由平行四边形的对角线长的平方和等于四边的平方和可得|a＋b|＝|OC|＝6.

答案：D

例4.如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，

与铅垂线的夹角分别为30°、60°，当整个系统处于平衡状态时，

求两根绳子的拉力．

30°

解：如图，在▱OACB中，使∠AOC＝，∠BOC＝60°，

则在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°

→→→∠OAC＝90°，设向量OA、OB分别表示两根绳子的拉力，则CO表示物体的重力，

→→→

且|OC|＝300 N，∴|OA|＝|OC|cos 30°＝1503(N)，

→→

|OB|＝|OC|cos 60°＝150(N)．

∴与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503 N，与铅垂线成60 °角的绳子的拉力是150 N.

例5.如图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，

→→→若AB＝a，AD＝b，用a，b表示AG＝________.

→→→→→→11→

解析：AG＝AE－GE＝AB＋BE－GE＝a＋b－FE

22

111→1133＝a＋b－×DB＝a＋b－(a－b)＝a＋b.

2222444

33

答案：a＋b

44

2

例6.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不

→→→→

同的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．

→→→1→→

11解析：设AB＝a，AC＝b，则AO＝(AB＋AC)＝a＋b，

222

→→→→→→→→→→1－λλ

又AO＝AM＋MO＝AM＋λMN＝AM＋λ(AN－AM)＝(1－λ)AM＋λAN＝ma＋nb.

1－λ1

m＝2

根据平面向量基本定理消去λ整理得m＋n＝2.答案

2 λ1

n＝2

例7．（1）已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(

)．

A

．(4,8)

B．(8,4)

C．(－4，－8)

D．(－4,8)

133

2）设a＝(（，)，b＝(cosα，)(0,)，且ab，则α＝________. 222

1（1）

解析：a＝(1，－2)＝－(－4,8)．即b＝－4a，∴b可能是(－4,8)．答案

D

4

(2)解析：∵ab，∴3cos30，得到cos3，而(0,)∴α＝5. 6242

例8.（1）已知|a|＝4，a与b的夹角为30 °，则a在b方向上的投影为________．

(2)若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为(

)．

6513

A.

B.65

C.

D.13 55

3

(1)解析

a在b方向上的投影为|a|cos 30°＝4×＝23.答案

23

2

－4×2＋3×7a·b5(2)解析

设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，

|a||b|4＋9×16＋495

565

∴a在b方向上的投影为|a|cos θ＝13×＝.答案

A 55

π0，

例

9.已知向量a＝(1,1)，b＝(1，a)，其中a为实数，O为原点，当此两向量夹角在12

变动时，a的范围是

(

)

33∪(1，3)

D．(1，3) A．(0,1)

B. C.，3，1

33→π

解析：已知OA＝(1,1)，即A(1,1)，如图所示，当点B位于B1和B2时，a与b夹角为，即∠AOB1＝

12

3

AOB2＝π，此时，∠B1Ox＝π－π＝π，∠B2Ox＝π＋π＝π，故B1∠，B2(1，3)，又a与b 1，12412641233

3夹角不为零，故a≠1，由图易知a的范围是，1∪(1，3)．

3



3

→→→→→→→→→

1又由BC＝AC－AB，AO＝AM＋MO＝(AB＋AC)＋MO.

→→→→→→→2→→→→

∴BC·AO＝BC·(AM＋MO)＝BC·AM＋BC·MO＝BC·AM

→→

(其中BC·MO＝0)

→→→→→→11125

＝(AC－AB)·(AB＋AC)＝(AC2－AB2)＝×(122－132)＝－. 2222

答案

－25

2

小结：平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向量

都可表示为其他两个不共线向量的线性组合．能够在具体问题中适当地选取基底，使

其他向量都能够用基底来表示．这样，几何问题就转化为代数问题．

例11.对任意两个非零的平面向量, ,定义：

=.若平面向量a, b满足ab>0,



a与b的夹角（0，），且与都在

4

n

集合{nZ}中，则ab=______2

答案：C

→→

例10．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则BC·AO＝________. →→

解析

设{AB，AC}为一平面内一组基底．如图所示，设O为△ABC的外心，M为BC中点，

连接OM、AM、OA，则易知OM⊥BC.

4