小结多媒体教案及点评

2.2.2

用样本的数字特征估计总体的数字特征

云南省会泽县东陆高级中学

郭兴甫

邮编：654200 本节内容主要是利用样本的众数、中位数、平均数估计总体数字的基本特征和利用方差（标准差）判断数据的变化情况；其核心内容是随机抽样中，从样本数据中提取众数、中位数、平均数这些数据的基本特征然后估计总体数据的基本特征和利用样本方差估计数据总体的变化情况，理解它的关键是利用实例对数据进行分析，然后从这些数据中提取数据的基本特征并对这些数据做出合理的解释形成对数据处理过程进行初步评价的意识。在此之前学生已经学习了用图、表来组织样本数据，学习了如何通过图、表所提供的信息，用样本的频率估计总体的分布，为了从整体上更好的把握总体的规律，因此，本节内容主为了更进一步的分析和把握样本与总体的联系．对问题作出合理判断，制定解决问题的有效方法．具有承上启下的作用，因此在本章整个内容的学习中也占有很重要的地位。重点是怎样求数据的平方差。难点是应用频率分布直方图求平均数、中位数。

课程目标

A.能利用频率颁布直方图估计总体的众数,中位数,平均数；

B.通过选取不同样本数据得到不同的数字特征，体会数字特征的随机性；

C.能用样本的众数,中位数,平均数估计总体的众数,中位数,平均数,并结合实际对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法；

D.能从样本数据中求出标准差，并对其作出合理的解释，进一步利用样本的标准差估计在抽样调查中总体的特征。

1.教学重点：根据实际问题对样本数据中提取基本的数据特征并作出合理解释,估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性. 2.教学难点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差；能应用相关知识解决学科素养

1.数学抽象：选取不同样本数据得到不同的数字特征，体会数字特征的随机性；

2.逻辑推理：画频率分布直方图的一般步骤；

3.数学运算：能利用频率颁布直方图估计总体的众数,中位数,平均数；

4.直观想象：初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法；

5.数学建模：会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认识统计的作用,能够理解数学知识与现实世界的联系。

简单的实际问题. 教学引入：

一、创设情境

在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕

甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；

乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.

观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。

二、探究新知

<一>、众数、中位数、平均数

〖探究〗：P72

（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？[来源:Z*xx*k.Com]

（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）

初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见课本第72页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。

〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？

根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）

分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。

〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？

分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为2.02。（图略见课本73页图2.2-6）

〖思考〗：2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）

（课本73页图2.2-6）显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。

〖思考〗：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例）

<二>、标准差、方差

１．标准差

平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断。某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为１７６㎝，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高。但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质。因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态。

例如，在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕

甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；

乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. [来源学_科_网]

观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？

我们知道，x甲7， x乙7。

两个人射击的平均成绩是一样的。那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察Ｐ６６图２.２-８）直观上看，还是有差异的。很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据。

考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。

样本数据x1,x2,,xn的标准差的算法：

（１）

、算出样本数据的平均数x。

（２）

、算出每个样本数据与样本数据平均数的差：xix(i1,2,（３）

、算出（２）中xin)

x(i1,2,n)的平方。

（４）

、算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。

（５）

、算出（４）中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。

其计算公式为：[来源:学#科#网Z#X#X#K]

s1[(x1x)2(x2x)2n(xnx)2]

]

显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。

２．方差

从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s（即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：

2s21[(x1x)2(x2x)2n(xnx)2]在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。

典例精析

例1：画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点。

(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５[来源:学+科+网]

(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６

(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７

(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８

分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差。

解：（图略，可查阅课本Ｐ76）

四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。

他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的。

例2：（见课本Ｐ77）

分析：

比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之间

的差异的估计值。

例3．利民中学为了了解该校高一年级学生的数学成绩，从高一年级期中考试成绩中抽出 名学生的成绩，由成绩得到如下的频率分布直方图.

根据以上频率分布直方图，回答下列问题：

（1）求这 名学生成绩的及格率；（大于等于 分为及格）

（2）试比较这 名学生的平均成绩和中位数的大小.（精确到 ）

分析：(1)根据频率分布直方图明确不及格率，从而得到及格率；（2）利用频率分布直方图求出这100名学生的平均成绩和中位数的大小，进而比较大小. 解：（1）∵不及格率为

，故及格率为

. （2）这100名学生的平均成绩为

. ∵

，

∴中位数应位于第四个小矩形内. 设其底边为

，高为0.03. ∴令

得

，故中位数约为

. 故而中位数大于平均数. 小结：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．

三、达标检测

1．样本101，98，102，100，99的标准差为(

) A．2

C．1 B．0 D．2

*网]2．甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图2-2-21所示．

图2-2-21 ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；

③甲同学的平均分比乙同学低；

④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．

上面说法正确的是(

) A．③④

C．②④

B．①②④

D．①③

[来源:Zxxk.Com]

－3．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数x及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是(

)

x s2

A．甲

C．丙

甲

7

6．3

乙

8

6．3

丙

8

7

B．乙

D．丁

丁

7 8．7 4．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图2-2-22，则[来源学科网]

图2-2-22 (1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是________．

(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________．

(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．

5．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图2-2-23所示：

图2-2-23 (1)填写下表：

甲

乙

(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：

①从平均数和方差结合分析偏离程度；

②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；

③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；

④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力．

教学反思

本节课的核心内容就是数据的数字特征（平均数、众数、中位数，标准差和方差）的概念，它们是如何反映数据的，透过它们可以看到数据的哪些特征？如何利用样本的数字特征对总体数据作出分析及判断。本节课的教学设计通过创设情境，还原数学概念本来应具有的背景，注重学生探究学习的过程。能够根据教学内容、学生的认知规律和教学设计的情意原则、过程原则进行设计，突出教师的指导和学生自主探究、合作交流的学习理念，以达到突出重点，突破难点的目的。通过例题的分析和讲解、学生的练习，使本节内容得到初步应用。

平均数

7

7

方差

1．2

5．4

中位数

7

7．5

命中9环及以上

1 3