2.5.2 向量在物理中的应用举例教学内容概述

2.5.2向量在物理中的应用举例

一、教学目标：

知识与技能：

通过力的合成与分解的物理模型，速度的合成与分解的物理模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识．

过程与方法：

通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力．体会数学在现实生活中的重要作用．养成善于发现生活中的数学，善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯．

情感、态度与价值观

通过学习体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．

二．重点难点 重点：

1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算. 2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法．

难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题．

三、教材与学情分析

向量与物理学天然相联．向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题的认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．

用向量研究物理问题的相关知识．(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量，那么它们的合成与分解就是向量的加、减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量是数乘向量；(3)功即是力与所产生位移的数量积．

用向量知识研究物理问题的基本思路和方法．(1)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；(2)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可1

以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学．

五、教学过程

（一）作业处理（设计一个微课）

（二）

向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决.因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题. （三）

两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？

通过几何画板演示发现：夹角越大越费力.

思考1：(1)若两只手臂的拉力为F1,F2物体的重力为G，那么F1,F2,G三个力之间具有什么关系？

通过利用向量的加法法则分析发现：

F1F2G0

思考2：假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ，那么F1,F2,、θ之间的关系如何？

2

把问题转化为解三角形问题，从而得到F1,F2,、θ之间的关系：

|F1||G|2cos2

思考3：上述结论表明，若重力G一定，则拉力|F1|的大小是关于夹角θ的函数.在物理学背景下，这个函数|F1||G|2cos

2的定义域是什么？单调性如何？

通过几何画板演示发现：函数的定义域是0,180单调性为增函数

思考4：|F1|有最小值吗？|F1|与|G|可能相等吗？为什么？

先通过几何画板演示再用代数方法让学生发现：



当0时，F1最小，最小值为当120时，F1G.G,2

（四）提升总结: 你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗? (1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；

(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；

(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；

(4)问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象. (五)

如图，一条河的两岸平行，一艘船从A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝

2㎞/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度v的大小是多少？

启发学生思考：先画出示图，再通过画出示图发现船的实际速度v是船在静水中的速度v1和水流速度v2的合速度，即v等于什么？

v2vv1

学生发现：vv1v2

方法一：利用直角三角形的勾股定理得，3

vv1v2104km/h

22方法二：利用向量的模长公式得，

vv1v2v1v2=v1v2222104km/h

变式1：如果船沿与上游河岸成60°方向行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？

让学生完成得得：

222vv1v2v1v2=v1v2



22

ov12v1v2cos120v284km/h

变式2：船应沿什么方向行驶（用与上游河岸的夹角的余弦值表示），才能使航程最短？

让学生分析得知：

与上游河岸的夹角的余弦值为1. 5

变式3：如果河的宽度d＝500m，那么船行驶到对岸至少要几分钟？

由变式2得，学生可以利用勾股定理可得:

22vv1v296km/h所以

t

d0.5603.1min

v96（六）

1.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N. 【答案】10 G都成角60，且解析：设重力为G,每根绳的拉力分别为F1,F2，则同题间得F1,F2与0F1F1,所以F1F1G10N，每根绳的拉力都为10N.

2.一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为_____ min. 【答案】3 4

解析：v实际v1v2，v120km/h，v212km/h

所以，vv1-v2202-122=16km/h

0.80.05h0.0560min3min

1622所以，所需时间t则船到达B处所需时间为3min.

（七）

1.利用向量解决物理问题的基本步骤：

①问题转化②建立模型③求解参数④回答问题

2.用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值.

（八）课后作业

1.已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J. 2.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以23km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.

5