信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象课时教学实录

正切函数的性质与图象

教学设计

蔡少

1．知识与技能：

通过对正切函数的性质的研究，注重培养学生类比思想的养成，学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数形结合思想思想解决实际问题的能力．

2．过程与方法：

在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上，运用类比的方法，学习正切函数的图象与性质，从而培养学生的类比思维能力．

3．情感态度价值观：

通过正切函数图象的教学，培养学生欣赏(中心)对称美的能力，激发学生热爱科学、努力学好数学的信心．

教学重点：正切函数的性质与图象的简单应用．

教学难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用．

教学过程

Ⅰ导入新课

常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？

Ⅱ新课探究

一、提出问题

1、我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质．正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数．你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？

2、我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象，然后向左、右扩展，这样就可以得到它在整个定义域上的图象．那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？

3、正切函数是周期函数吗？

4、我们能否用正切线画出一个周期的正切线吗？

5、观察正切函数的图像，能得到那些性质？

二、正切函数性质

1、周期性

π由诱导公式tan(x＋π)＝tanx，x∈R，x≠2＋kπ，k∈Z可知，正切函数是周期函数，周期是π。

2、奇偶性

π由诱导公式tan(－x)＝－tanx，x∈R，x≠2＋kπ，k∈Z可知，正切函数是奇函数，所以它的图象关于原点对称．（引导学生通过图象能且与正余弦函数相对照，让学生发现正切函数也是中心对称函数，它的对kπ称中心是(2，0)k∈Z.）。

3、单调性

ππ通过多媒体课件演示，正切函数在(－2，2)内是增函数，又由正切

ππ函数的周期性可知，正切函数在开区间(－2＋kπ，2＋kπ)，k∈Z内都是增函数。

4、定义域

y根据正切函数的定义tanα＝x，显然，当角α的终边落在y轴上任意一点时，都有x＝0，这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在πy轴上的所有角可表示为kπ＋2，k∈Z，所以正切函数的定义域是π{α|α≠kπ＋2，k∈Z}。

5、值域

正切函数的值域是实数集R。

三、例题

例1比较大小．

13π17π(1)tan138°与tan143°；(2)tan(－4)与tan(－5)．

解：(1)∵y＝tanx在90°

∴由138°<143°，得tan138°

17π17π2π2πtan(－5)＝－tan5＝－tan(3π＋5)＝－tan5. π2πππ又0<4<5<2，而y＝tanx在(0，2)上是增函数，

π2ππ2π13π17π∴tan4

∴－tan4>－tan5，即tan(－4)>tan(－5)．

例2用图象求函数y＝tanx－3的定义域．

解：由tanx－3≥0，得tanx≥3，

ππ利用右图知，所求定义域为[kπ＋3，kπ＋2) ∈Z．

点评：先在一个周期内得出x的取值范围，然后再加周期即可，亦可利用单位圆求解，

ππ例3求函数y＝tan(2x＋3)的定义域、周期和单调区间．

πππ解：函数的自变量x应满足2x＋3≠kπ＋2，k∈Z，

11即x≠2k＋3，k∈Z.所以函数的定义域是{x|x≠2k＋3，k∈Z}．

ππππππ由于f(x)＝tan(2x＋3)＝tan(2x＋3＋π)＝tan[2(x＋2)＋3]＝f(x＋2)，因此，函数的周期为2. ππππ51由－2＋kπ<2x＋3<2＋kπ，k∈Z，解得－3＋2k0)的周期性的研究一样，这里可引导学生π探究y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期T＝ω. 四、课堂练习

课本本节练习1～5.

课堂小结

1．先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法，有哪些启发、收获．本

节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后，研究的又一个具体的三角函数，与研究正弦、余弦函数的图象和性质相同，是由图象得性质。

2．本节研究的过程是由形及数相结合，也是我们研究函数的基本方法，特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法．请同学们课后思考总结：这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？

作业

课本习题1.4

A组6、8、9.