复习参考题特级教师教学实录

第2节

三角恒等变换

最新考纲

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆).

知识链条完善 把散落的知识连起来

教材导读】 1.公式tan(α+β)=

tantan可以变形为tan α+tan β=tan(α+β) 1tantan

(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立吗? 提示:不一定,变形可以,但不是对任意角α,β都成立,α,β,α+β≠kπ+π,k∈Z.

22.一般情况下,tan 2α≠2tan α,但是否存在α,使得tan 2α=2tan α? 提示:存在α,使得tan 2α=2tan α,如α=kπ(k∈Z)时,上式就成立.

3.公式asin x+bcos x=a2b2sin(x+)中的取值与a,b有关吗?

提示:有关.cos =有关. aab22,sin =bab22,可知的取值与a,b的值

知识梳理 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)两角和与差的余弦公式

cos(α+β)= ,

cos(α-β)= .

cos αcos β-sin αsin β

cos αcos β+sin αsin β

(2)两角和与差的正弦公式

sin(α+β)= ,

sin(α-β)= .

sin αcos β+cos αsin β

sin αcos β-cos αsin β

(3)两角和与差的正切公式

tan(α+β)=

tan(α-β)=

tantanπ,,kπ,kZ, 1tantan2tantanπ,,kπ,kZ. 1tantan2

2.二倍角的正弦、余弦和正切公式

(1)二倍角的正弦公式

sin 2α= .

(2)二倍角的余弦公式

cos 2α= =2cos2α-1=1-2sin2α. 2sin αcos α

cos2α-sin2α

(3)二倍角的正切公式

tan 2α=2tan. 21tan

3.公式的常见变形

(1)tan α±tan β= .

tan(α±β)(1∓tan αtan β)

(2)sinα=cosα=221cos2; 21cos2; 21sin2. 2sin α·cos α=

(3)1+cos α=2cos22;1-cos α=2sin22; 1+sin α=sincos; 1-sin α=sincos. 2222

22

基础自测

4.形如asin x+bcos x的式子的化简

asin x+bcos x=a2b2sin(x+) (其中sin =ba2b2,cos =aa2b2).

1.(2015高考新课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于( ) (A)-3

(B)3

(C)-11222

(D)2

解析:原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°=12,故选D.

2.(2016合肥联考)若tan α=3,则sin2cos2的值为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)6

3.设tan α,tan β是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)的值为(

) (A)-3

(B)-1

(C)1 (D)3

解析:原式=2sincoscos2=2tan α=6.

解析:tantan3,根据tan(α+β)=

tantan3tantan2. 1tantan=12=-3. C

)=s

4.(2016高安中学模拟)已知cos α=等于( ) (A)π

4113π,cos(α-β)=

,且0<β<α<,β7142(B)π

6(C)π

3(D)5π

12幻灯片12

解析:cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β),因为cos α=331π43,0<β<α<,所以sin α=,sin(α-β)=,代入721471π,所以β=. 23可得到cos β=

5.函数f(x)=sin2(x+ππππ)-sin2(x-),x∈(,)的值域是

.

4463

解析:f(x)=sin2(x+因为πππ)-cos2(x+)=-cos(2x+)=sin 2x. 4423πππ2π

考点专项突破 在讲练中理解知识

三角函数式的化简、求值

考点一

【例1】 (1)(2016重庆巴蜀中学模拟)化简(A)1 (B)答案:(1)C

幻灯片14

3

cos40。cos25。1sin40。等于(

) (C)2

(D)2 cos220。sin220。2cos25。cos20。sin20。解析:(1)原式====2. cos25。cos20。sin20。cos25。cos25。

(2)(2015杭州质检)计算tan 25°+tan 35°+3tan 25°·tan 35°等于

.

:(2)因为tan(25°+35°)=tan25。tan35。解析1tan25。tan35。,

所以tan 25°+tan 35°=tan 60°(1-tan 25°tan 35°) =3-3 tan 25°tan 35°, 所以tan 25°+tan 35°+3tan 25°·tan 35°=3-3tan 25°tan 35°+3tan 25°tan 35°=3. 幻灯片15 反思归纳 三角函数式的化简常用方法

(1)善于发现角之间的差别与联系,合理对角拆分,恰当选择三角公式,能求值的求出值,减少角的个数. (2)统一三角函数名称,利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一. 幻灯片16

【即时训练】 (1)化简8sin π48cos π48cos π24cos π12=

.

解析:(1)8sin ππππππ48cos 48cos 24cos 12=4sin 24cos 24cos 2sin π12cos π12=sin π6=12. 幻灯片17

答案:(1)12

计算:

1cos20。(2)2sin20。-sin 10°(1tan5。-tan 5°)=

.

π12=

2cos210。cos25。sin25。解析： (2)原式=-sin 10°·

。。。。sin5cos54sin10cos10cos10。sin20。cos10。2sin20。=-=

。。。2sin10sin102sin10=cos10。2sin30。10。2sin10。cos10。2sin30。cos10。2cos30。sin10。3==. 。2sin102幻灯片18 三角函数的给值求值问题

考点二

答案:(2)32

【例2】 (2015合肥联考)已知α∈(π2,π),且sin (1)求cos α的值; 反思归纳 已知三角函数值,求三角函数式值的一般思路

(1)先化简所求式子; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值. 幻灯片21

解:(2)因为π2<α<π,π2<β<π,所以-π<-β<-π2,

故-π2<α-β<π2.又sin(α-β)=-345,得cos(α-β)=

5. cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =-32×45+134332×(-5)=-10.

2+cos 2=62.

【即时训练】

已知α∈((1)求sin(π+α)的值; 45π,π),sin α=. 25

5152解:(1)由题意cos α=-=-255, 所以sin（πππ+α）=sin cos α+cos sin α444=225×(-)+252×2510=-. 510

(2)求cos(5π-2α)的值. 6幻灯片23 考点三 三角函数的给值求角问题

幻灯片24 (2)求β的值.

解:(1)因为tan 1=,所以sin α=sin(2·)=2sin cos

222222sin12=4. 22=2==225221sincos1tan122222sincos2幻灯片25 反思归纳 (1)解决给值求角问题的一般步骤是:①求角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围写出要求的角. (2)在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择恰当的函数,尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数. ①已知正切函数值,选正切函数;

解:(2)因为0<α<又0<α<π43,sin α=,所以cos α=.

255π<β<π,所以0<β-α<π. 2π2,得0<β-α<. 210由cos(β-α)=9872=, 1010所以sin β=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α所以sin(β-α)=

342527222×+×==. 510550102π3由<β<π得β=π. 24=幻灯片26

答案:(1)C

解析:(1)因为α,β为钝角,sin α=所以cos α=-1025,sin β=, 1055310,cos β=-, 510所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=又α+β∈(π,2π),所以α+β∈(2>0. 2

3π7π,2π),所以α+β=. 42(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=为

.

11,tan β=-,则2α-β的值27

11tantan1解析:(2)因为tan α=tan[(α-β)+β]=

=27=

>031tantan1112712π2tan3=3>0,所以0<2α<π,

所以0<α<.又因为tan 2α==221tan211433所以tan(2α-β)=

tan2tan11tan2tan=41371=1.因为tan 47所以π2<β<π,-π<2α-β<0,所以2α-β=-3π4.

考点四 三角恒等变换的综合应用(高频考点) 考查角度1:与三角函数的图象及性质相结合命题.

解:(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π, 所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω=2πT=2. 又因为f(x)的图象关于直线x=π3对称, 所以2×π3+=kπ+π2,k∈Z, 因为-π2≤<π2,得k=0, =π2-2π3=-π6. (2)若f(3π22)=4 (6<α<π3),求cos(α+3π2)的值. 幻灯片31 反思归纳

2=-17<0,

β

π3)=3sin(2·-)=,

2264π1π2πππ所以sin(α-)=.由<α<,得0<α-<, 364662解:(2)由(1)得f(π15π1所以cos(α-)=1sin2=1=. 64642因此cos(α+3ππππ)=sin α=sin [(α-)+)=sin(α-)cos 2666幻315315πππ11+cos(α-)·sin =×+×=. 66642248灯片32 考查角度2:与向量相结合命题.

与三角函数的图象、性质相结合的综合问题,借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)=Asin(ωx+)的形式,然后借助三角函数图象解决.

幻灯片33 (2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.

2222解:(1)由|a|=(3sin x)+sinx=4sinx, |b|2=cos2x+sin2x=1,又|a|=|b|,得4sin2x=1. 又x∈[0,所以x=π1],从而sin x=, 22π. 6幻灯片34 反思归纳 与向量相结合的综合问题,此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问题,然后利用三角恒等变换转化为三角函数的图象与性质等问题解决. 幻灯片35 备选例题

幻灯片36

答案:-2sin 4 幻灯片37

解析:原式=因为4cos24+2sin4cos42=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|, 53π<4<π, 42所以cos 4<0,且sin 4

【例3】

设函数f(x)=2cos2x+2(1)求f(x)的最小正周期; 幻灯片38

解:(1)f(x)=2cos2x+2+m=2sin(2x+3sin xcos x+m.其中m,x∈R. 3sin xcos x+m=1+cos 2x+3sin 2x π)+m+1, 6所以函数f(x)的最小正周期T=π.

(2)当x∈[0,π17]时,求实数m的值,使函数f(x)的值域恰为[,],并222f(x)在R上的对称中心. 幻灯片39

解:(2)因为0≤x≤所以-令2x+πππ7π,所以≤2x+≤,

26661π171≤sin(2x+)≤1,所以m≤f(x)≤m+3,又≤f(x)≤,故m=, 26222πkππ=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z, 6212kππ3-,). 2122对称中心为(

【例4】 (2015襄阳模拟)已知sin(α+α,β∈(π3π,),求cos(α+β)的值. 44510π3π)=,cos(β+)=-,44510幻灯片40 易混易错辨析 用心练就一双慧眼

忽视角的范围致误

解:由α∈(由β∈(π3ππππ25,)得α+∈(,π),故cos(α+)=-, 444245π3π3π3π3π310,)得β+∈(π,),故sin(β+)=-, 4442410π3π所以cos(α+β)=-cos[(α+)+(β+)) 44π3ππ3π=-[cos(α+)cos(β+)-sin(α+)sin(β+)) 4444105310252=-[(-)×(-)-×(-)]=-. 1051052

【典例】 (2016南京模拟)已知sin(x-cos2x=

.

πcosx4π4)=,x∈(π,2π),则45幻灯片41

所以cos(x-=cos[ππ3π)=-1sin2x=-,cos(+x) 4454πππ4+(x-)]=-sin(x-)=-, 2445ππ-2x)=-sin(2x-) 22cos 2x=sin(=-2sin(x-ππ4324)cos(x-)=-2××(-)=, 445525246所以原式=25=-. 455幻灯片42

6答案:-

5

幻灯片43

(2)在求解时,要分析清楚角度之间的关系,灵活运用诱导公式变形,如与πππ-x互余,+x与-x互余等. 436π+x4易错提醒:(1)在求解时容易忽视角的取值范围,求得cos(x-π)为正.由于4符号的差异导致最后结果的错误,所以在涉及开方运算时,要特别关注角的范围问题.

解析:因为x∈(π,2π),所以又sin(x-3π7π0, 所以

. 【例2】

解析:tan(α+ππ)=tan[(α+β)- (β-)]= 33π1tantan133=1.故选B.

=1π21tantan1133【例1】 (2015景德镇模拟)已知tan(α+β)=1,tan(β-的值为(

) (A)2

3π1π)=,则tan(α+333(B)1

2(C)3

4(D)4

5解:(2)f(x)=a·b=2x+3sin xcos x+sinx=231sin 2x-cos 221π1=sin(2x-)+,

262ππ∈[0,]时, 32π)取最大值1. 63. 2当x=sin(2x-所以f(x)的最大值为【例5】

设向量a=(3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈[0,(1)|a|=|b|,求x的值; π]. 2

【例4】

已知函数f(x)=3sin(ωx+)(ω>0,-直线x=ππ≤<)的图象关于22π对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. 3(1)求ω和的值; 3答案:（2)-π

4【即时训练】 (1)(2016金华模拟)设α,β为钝角,且sin α==-310,则α+β的值为(

) 103π

45,cos β5(A)(B)5π

4(C)7π

4(D)5π7π或

44π②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是0,,选正、余2ππ弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为,,22选正弦函数较好. 【例3】

已知0<α<(1)求sin α的值; π12<β<π,tan =,cos(β-α)= . 22210解:(2)sin 2α=2sin αcos α=-43,cos 2α=2cos2α-1=,

555π5π5π所以cos(-2α)=cos cos 2α+sin sin 2α666=-3334314×+×(-)=-. 525210

3π(2)若sin(α-β)=-,β∈(,π),求cos β的值. 52解:(1)因为sin +cos =6, 2两边同时平方,得sin 又π2<α<π,所以cos 答案:(2)3

22=12. =-32.

αα