3. 万有引力定律的应用第二课时教案

万有引力定律的应用（复习课）

（一）复习回顾：

MmFG引 万有引力定律： r2

22v22向心力表达式：

F向mamrm()rmTr（二）万有引力定律应用

浩瀚的星空，广阔的银河系，都与万有引力定律密不可分，那么万有的引力定律在其中发挥了怎样的作用呢？

一、预言彗星回归

牛顿断言，行星的运动规律同样适用于慧星，哈雷根据牛顿的引力理论，对1682年出现的大慧星的轨道运动进行了计算，指出了它就是1531年、1607年出现的慧星并预言它将于1758年再次出现，后来克雷洛计算出它将于1759年，1986年，2062年光临地球，这些预言都得到了证实。 二、预测未知天体

海王星的轨道由英国的剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好者勒维耶各自独立计算出来。1846年9月23日晚，由德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星,人们称其为“笔尖下发现的行星”。

海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶列的方法预言另一颗行星的存在。

在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现了这颗行星—冥王星。

三、

天体的称量

思考与讨论1：如何测量地球的质量？ 阿基米德:“给我一个支点，我可以撬动地球。” 问：能通过杠杆原理（天平）直接测量地球的质量吗？ 答：测量巨大的天体质量显然只能采用间接的方法.万有引力理论给我们提供了重要的启示和解决方案。

方法一：近地代换法

若不考虑地球自转的影响，地面上的物体的重力等于地球对它的引力。

黄金代换

卡文迪许被称为“第一个称量地球质量的人”！

方法二：远地环绕法

借助于月球环绕地球做匀速圆周运动可不可以计算地球质量呢？

4r3 MGT2

思考与讨论2：天体质量的计算

已知太阳周围的某颗行星(如：地球)的详细运动特征，利用万有引力定律，有没有办法测量太阳的质量？

v2r34rM如果已知T、r ，则 ，如果已知r、v ，则 M2G，

GT

2r3如果已知ω、r，则

MG

4r3思考与讨论3：M 是定值

GT2测出行星的T和r，就可以测出太阳的质量M。

不同行星与太阳的距离r和绕太阳公转的周期T都是各不相同的。但是不同行星的r、T计算出来的太阳质量必须是一样的！以上计算式给你什么启示？

根据开普勒第三定律：

（定值）

所以，以上计算式是一个定值，而且我们还可以知道常数K只和中心天体（太阳）的质量有关。

四、天体的密度计算：

根据天体的质量是否可以计算获得它的平均密度呢？

4r3MGT2

小结：天体的计算

方法一：利用天体表面物体的重力等于万有引力

方法二：利用天体的卫星，所受万有引力提供向心力

v2r2r34r3MM 或 或

MGGGT2

（r为轨道半径，R为中心天体的半径）

（r=R）近地卫星

随堂练习：

1、1798年，英国物理学家卡文迪许测出引力常量G,因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g,地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1，一年时间为T2，地球到月球中心距离为 L1,地球到太阳中心距离为L2，能计算出（ ） A、地球质量 C、月球质量

B、太阳质量

D、月球、地球、太阳密度

2、过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳半径的1/20,该中心恒星与太阳的质量比约为（ ）

A、1 /10 B、1 C、5 D、10 五、人造卫星

1、人造卫星的发射原理

问：地面上的物体，怎样才能成为人造地球卫星呢？

300多年前牛顿提出设想：物体被抛出速度足够大时可以离开地球—发射速度。

2、人造卫星运行原理

人造卫星受到地球对它的万有引力作用，人造卫星作匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。

3、人造卫星的运行规律

设地球质量为M，卫星质量为m，卫星的绕行速度v 、角速度ω

、周期T、向心加速度a与轨道半径 r 的关系 记忆口诀：“高轨低速长周期”

卫星运动的线速度、角速度、向心加速度和周期：

（1）由

（2）由

（3）由

（4）由

得

得，

得，

得，

可见：卫星运动情况(a、V 、ω

、T

)是由

r

惟

一决定

人造地球卫星的运行规律

v1>v2=v3>v4

T1

ω1>ω2=ω3>ω4

4、宇宙速度

对于靠近地面的卫星，可以认为此时的 r 近似等于地球半径R地，把r用地球半径R地代入，可以求出：

v1=GM地=R地6.67×1011×5.89×1024m/s6.37×106

这就是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的线速度，

叫做第一宇宙速度(环绕地球表面的速度，又称环绕速度)。

第二宇宙速度（脱离速度） V2=11.2km/s

第三宇宙速度（逃逸速度）V3=16.7km/s 发射速度和运行速度对比：

1、

发射速度：是指被发射物在地面附近离开发射装置时的速度。

①宇宙速度均指发射速度 ②第一宇宙速度是在地面发射卫星的最小速度，也是环绕地球运行的最大速度。

2、运行速度：是指卫星进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的速度。

=7.9km/s

六、同步卫星

1、定义

所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的和地球具有相同周期的卫星，同步卫星必须位于赤道平面内，且到地面的高度一定。

2、地球同步卫星的运行特征

可概括为四个一定

①定轨道平面,其运行轨道平面在赤道平面内；

②定周期,即运行周期等于地球自转周期（24 h）

③定高度，即离地面高度一定（h=36000 km）

④定速度，即运行速度一定（v≈3.1km/s）

同步卫星变轨原理：

第一次变轨：点火加速V2>V1 ,椭圆轨道上运行：V2>V3

第二次变轨：点火加速V4>V3，圆轨道上运行：V1>V4

思考：人造卫星在低轨道上运行，要想让其在高轨道上运行，应采取什么措施？

在低轨道上加速，使其沿椭圆轨道运行，当行至椭圆轨道的远点处时再次加速，即可使其沿高轨道运行。

1、卫星在二轨道相切点 万有引力相同

速度—内小外大（切点看轨迹）

近地点---速度大，动能大

2、卫星在椭圆轨道运行

远地点---速度小，动能小

随堂练习：

1、如图所示，发射同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行；最后再次点火将其送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于P点，2、3相切于Q点。当卫星分别在1、2、3上正常运行时，以下说法正确的是（ ）

A、在轨道3上的速率大于1上的速率 B、在轨道3上的角速度小于1上的角速度

C、在轨道2上经过Q点时的速率等在轨道3上经过Q点时的速率 D、在轨道1上经过P点时的加速度等于在轨道2上经过P点时的加速度

2、已知一颗靠近地面运行的人造卫星每天约转17圈，今欲发射一颗地球同步卫星，其离地面的高度约为地球半径的（ ） A、4.6倍 B、5.6倍 C、6.6倍 D、7倍

3、地球和另一个天体的密度之比为3∶2，半径之比为1∶2，地球表面的重力加速度g＝9.8m/s2，则这个天体表面的重力加速度是多少？在这个天体上发射卫星的环绕速度是多少？

七、双星问题

1、两颗质量可以相比的恒星相互绕着两者连线上某固定点旋转的现象，叫双星。对于其中一颗来说，另一颗就是其“伴星”。

2、双星是宇宙中两颗相隔一定距离，围绕其连线上某点做匀速圆周运动的天体。

（1）向心力的来源：构成双星的两天体间的万有引力。

（2）特点

①.两星球间的万有引力充当向心力

②.周期相等，角速度相同

③.双星间的距离不变

④.万有引力公式中距离（两星球间距）与星球做圆周运动的轨道半径的不同

3、

双星规律

GM1M2L22M1r1T2，GM1M2L22M2r2T2

M1rr1M2r2

1r2L，r1M2LM1M2，r2M1LM1M2

(4)巧妙求质量和―→＝m1ω

L2Gm1m2

＝m2ω2r2

②

L2

Gm1＋m2①＋②得：＝ω2L，

L2ω2L3∴m1＋m2＝G。

Gm1m22r1

①

随堂测试：两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。