圆的周长第二课时教学设计

明光市第三小学2017—2018学年度第二学期校内公开课《圆的周长》教学设计

理解变通创新

——HPM视角下的圆周长计算探究

安徽省明光市第三小学隋昊

一、教学内容

苏教版《义务教育课程标准教科书数学》五年级(下册)第92-95页的例4、例5以及

“试一试”、“你知道吗”,并完成练习十四第1、2、3题。

二、教材简析

《圆的周长》是基于学生已经初步掌握长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的基本特征及其周长公式,并且已具备直观认识圆的客观前提下进行教学的。教材采取“猜想-验证-归纳”的线索,引导学生联系实际生活经验把原有的周长概念迁移到新的平面图形上来,进而在实验操作活动中理解圆周率的意义,获得并掌握圆周长的意义和计算公式。

三、学情分析

据课前在试讲学生抽样提问访谈中估测的调研数据中作出如下几方面分析:

1.“已知”层面:授课班级(共52人)中能理解多边形周长意义并熟练应用算法的学生人数近乎100%。同时对圆的基本概念(圆心、半径和直径)、属性特征初步了解的人数达3.8%,处于理解程度的人数达76.9%,可以完全掌握的人数约3.8 %。

2.“未知”层面:多边形周长的程序性计算步骤在学生在脑海中已根深蒂固,但面对小学阶段唯一一个曲线图形“圆”的周长测量却难以打破常规思维定势;纵然有个别学生知道“圆周率”的数学名词,却对本质的由来历程停留在茫然的白板区域。

3.“能知”层面:五年级学生正处于具体运算向形式运算的过渡阶段,对长度维度达到内化的可逆性守恒认识能力。在合理的引导下即可联想到采用“转化”的方法将二维圆周形变为一维线型计量,借助直观演示亦能推想到圆周长与直径之间的倍比数值范围。

4.“想知”层面:圆周率的教条式规定无法满足学生求知欲望,其取值区间及精准度生成发展历程正是灌溉在儿童内心深处萌发好奇心嫩芽的活水。

四、设计理念

我遵循HPM(Hitory of Pedagogy of Mathematics)视角下的历史相似性原理,按照“画圆-析圆-测圆”的顺序创造性地利用教材来塑造学材进行教学,以此重构圆周长计算探索的历史。把数学史册记载的圆周长演算内容建立在学生的认知基础之上,采用发生教学法(Diseovery Teaching Method)将圆周长探索方法历史进程串插在教学环节中,使圆周率的历史、逻辑和心理顺序的融合自然发生,旨在历史与现实、数学与人文之间各架起一座变通性思维的桥梁。

五、教学目标

1.学生经历猜想验证、测量计算、讨论和归纳等数学活动过程,了解圆周率的含义,熟记圆周率的近似值,探索并掌握圆的周长公式,能正确计算圆的周长。

2.学生在活动中进一步积累图形的长度(周长)测量方法经验,体会“化曲为直”、夹逼函数极限的数学思想方法,增强空间观念,发展数学思考。

3.学生进一步体验图形与生活的联系,感受数学历史文化魅力,提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。

六、教学重难点

1.教学重点:探索并掌握圆的周长计算公式。

2.教学难点:理解圆的周长与直径的比值是定值(即圆周率)。

七、教学准备

课件一套、3类大小不同的圆片若干。

八、教学过程

一、史料情境,引入新知

1.出示例4中三种不同规格的车轮图片

师问:3个车轮各滚动一周,哪个车轮行的路程比较长?(演示车轮滚动动画)指名学生回答,并指出“车轮周长”概念。

追问:比较3个车轮的直径和周长,你有什么发现?

2.揭示课题,谈话引入

【设计意图:以生活中常见的三种规格的车轮为研究对象,一方面引导学生从生活实际效仿数学史上人类判断的经验“车轮滚动一周的路程长度就是车轮的周长”,另一方面在理解圆周长前概念的基础

上通过直观对比,初步感知到车轮直径的长短与车轮周长大小相互关联。】

二、重演历史,探究新知

1.探索圆周率取值上确界范围

(1)呈现课本第95页“你知道吗”前段内容(多媒体演示“圆出于方”)

问:任意一个正方形的周长总是边长的几倍?

既然圆的周长与它的直径有关,那么圆的周长与直径是否也有倍数关系呢?

(2)出示例5中的第一个问题(课件演示在正方形内画一个最大圆的过程)

师问:为什么刚刚画出的圆都不是最大?

正方形周长和圆周长,谁更长呢?

预设学生可能回答:

①正方形的周长小于或等于圆的周长;

师生交流中,适时借助课件标注区分两者边线释疑。

②正方形的周长大于圆的周长。

追问:圆的直径与正方形又有什么关系呢?

圆的周长与正方形周长之间有怎样的关系?

2.探索圆周率取值下确界范围

(1)继续展现“你知道吗”的中段内容

教师适时进行补充介绍,指导学生理解术语含义。

(2)出示例5中的第二个问题(课件呈现圆内接正六边形)

师问:圆内接正六边形周长与圆周长,谁比较大一些?

预设学生可能出现:

①正六边形的周长大于或等于圆的周长;

引导学生逐步从动态演示中表达如下思考过程。

②正六边形的周长小于圆的周长。

追问:正六边形中每一条边的长度与圆的半径之间有什么关系?

那么圆内接正六边形的周长是圆的直径长度的几倍呢?

(3)出示“你知道吗”的后续内容(课件呈现例5右边的图示)

师:通过内接、外切正多边形夹逼圆的方式,你认为圆周长大约是直径的几倍吗?

生独立观察后,汇报思考过程。

师追问:圆周长的计算方法的关键就是找到这个倍数,也就是找到圆周长除以直径的商。你们能想到用什么方法来测算出来吗?

(4)小组合作,实验操作

①依据要求量出3个大小不同的圆片周长,并计算每个圆的周长除以直径的商。

②你是怎样算出圆片的周长的?

③把小组内得到的不同数据填在表内。

通过测量,你发现圆的周长和直径之间的倍数关系是怎样的?

3.探索圆周率的泛化精确数值

(1)介绍圆周率的概念

(2)播放圆周率相关视频

大圆周长除以直径的商与小圆周长除以直径的商相同吗?为什么?

4.探索圆周长的一般计算方法

师问:省略号表示什么意思?计算时我们直接把这个数据用来计算方便吗?

圆周长除以直径的商是π,这说明圆的周长是它直径的多少倍?

追问:圆周长的计算公式呢?你会用字母表示圆周长计算公式吗?

【设计意图:“历史上数学家曾经遇到过的困难,课堂上学生同样会遇到”,追溯历史渊源的“圆出于方”问题启发学生尝试把正方形周长计算方法迁移到圆的周长上,初步建立研究方向——寻找“圆周长与直径的倍数大小”。进而顺应圆周长的数学史发展路径,分别从圆的外切正方形、内接正六边

形与圆的直径来发现“圆周长与直径的倍数大小”上下区间范围，即“正方形的周长是圆直径的4倍，正六边形周长是圆直径的3倍，而圆周长大于正六边形周长、小于正方形周长，所以圆周长大约是直径的3倍多一些”。随之抛出问题“如何测算这个倍数大小数值”让学生有意义地进行测量计算，据此结合实验数据介绍有关圆周率的数学史料，使他们产生相应的心理认同。在此基础之上，顺势推导出圆的周长计算公式。】

三、建构史实，应用新知

1.完成“试一试”。

（1）学生独立完成；

（2）展示作业，汇报交流。

2.指导完成练习十四第1、2、3题。

【设计意图：“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上获得不同的发展”，在此环节我设计了不同梯度的更巩固练习，帮助学生应用前面掌握的公式计算圆的周长、解决简单的实际问题，以巩固对圆周长的数学意义及算法上的理解。】

四、回顾历史，蕴伏未知

1.通过今天这节课的学习，你有哪些收获？

2.简介古希腊“化圆为方”几何难题

你认为圆的面积计算方法应该如何来推算？

【设计意图：引领学生共同回顾圆周长的探索历程，在融合圆周长的数学历史发展进程基础上，沟通学生个体对圆周长计算方法的认知理解。最后通过“化圆为方”问题不仅照应数学史的起始，更进一步埋下伏笔，悄然地将本课中“圆周率”的知识与下节课“圆的面积”等价联系起来。】

九、板书设计

圆的周长

Cπ3.1415926533.14d

Cπd2πr