探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教案教学设计导入设计

教学建议

知识结构：

重点与难点分析：

本节重点是用“五点法”画函数

的简图，以及由函数

的图像得到函数

图像的变换过程．“五点法”作图在对图像要求不精确时经常用到，是数形结合中画图常用的方法．图像变换体现了数学的由简单到复杂的转化，由特殊到一般的化归思想，要掌握三角函数的图像变换，关键理解A、

、

对图像变换所起的作用．

本节难点是当

时，函数

，

的图像间的关系．学生在这里经常出错，教学中要帮学生尽量克服这一难点．首先要学生理解A、

、

三个参数的名称、在变换过程中的作用，函数

的图像如何通过

逐步变换得到的，A、

、

三个参数对于图像有什么样的影响．变换的顺序不同

、

变换的数据可能就不相同，让学生理解所的变换均是针对x而言的，关键是看x是如何变化的．

教法建议：

1．本节的主要内容是“五点法”画函数

的图像，以及由函数

图像到函数

的图像的变换过

程．首先让学生理解由函数

的图像分别到函数

，

，

图像，是如何变换得到的以及参数

、

、

分别对变换图像影响．讲解过程中一定要结合图像，让学生掌握变换的思路．讲解后配上适当的练习进一步熟悉变换过程．每个例题讲解图象变换的目的，在于揭示各种正弦函数图象的内在联系，而并不要求用图象变换来作图，而是为

图像的变换奠定基础．

2．由函数

图像变换到函数

的图像过程中，变换的顺序不同可能变换的量不相同，例如先变相位，再变周期，与先变周期．再变相位，相位变换的量不同，函数像可由函数

的图像上所有点向左平，

的图再将所得各点的横坐标缩短到原来的

；也可先将函数

的图像上各点的横坐标缩短到原来的

，再将所得各点向左平移．这一不同学生很难理解，学生很容易出错，也是经常考查内容．首先给学生说明对于

中的

、

均是针对x而言的，因此在变换的过程关键就看x变换了多少，其它因素暂时不考虑．可以借助多媒体课件讲解，能起到更好的效果．

3．画函数

的简图，主要还是先找出确定曲线形状时起关键作用的五个点．要强调一下：这五个点应该是使函数取得最大值、最小值以及曲线与

轴相交的点；找出它们的方法是换元法，设

，由X取0，

，

，

，

来确定对应

的值．在每道例题中讲图象变化的目的，在于揭示函数

的图象与正弦曲线的关系，而不是要求按图象变化规律来画图，这样可以借助函数

的性质研究函数

的性质．

4．由于函数

的图象在物理和工程技术的很多问题中应用都很多，所以，在引入函数

的图象时，就可以从物理中的一些实际问题出发，即结合了实际，又体现了学以致用的思想，特别是对

、

、

物理意义的理解。比如可以举物体作简谐振动时位移s与时间t的关系。

教学设计示例

函数yAsinx的图像 第一课时

（一）教学具准备

直尺、投影仪．

（二）教学目标

掌握由（三）教学过程

1．设置情境

函数

（

、

、

是常数）广泛应用于物理和工程技术上、例如，物体作简谐振动时，位移

与时间

的关系，交流电中电流强度

与时间

的关系等，都可用这类函数来表示．我们知道，图像是函数的最直观的模型，如何作出这类函数的图像呢？下面我们先从函数

与

的简图的作法学起．（板书课题）—函数

与

的图像．

2．探索研究

（可借助多媒体）

（1）函数

【例1】画出函数

解：函数上的简图．

及

与

及

的图像的联系

（

的周期均为

）的简图．

，我们先作

列表并描点作图（图1）

0 0 0 0

1 2

0 0 0

－1 －2

0 0 0

利用这两个函数的周期性，我们可以把它们在左、右分别扩展，从而得到它们的简图．

说出

上的简图向

的图像与

的图像之间有何联系？请一位同学

的值域和最值．

生：

的图像可以看做是把

的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到的．

，

的值域是

师：

，最大值是2，最小值是－2．

的图像与

的图像有何联系？并请你说出

的值域和最值．

生：

的图像可以看做是把

的图像上所有点的纵

，

坐标缩短到原来的

倍，（横坐标不变）而得到的，的值域是

，最大值是

，最小值是

．

师：由例1中我们来探求函数像之间的联系．

、

（

且

与

的图像的联系，

）的图像与

的图

函数

（

且

）的图像可以看做是把

的图像上所有点的纵坐标伸长（当

时）或缩短（当

）到原来的

倍（横坐标不变）而得到，这种变换称为振幅变换，它是由

的变化而引起的，

叫做函数

的振幅．

，

的值域是

（2）函数

【例2】作函数

解：函数时函数的简图．

列表：

0 0 0

0

，最大值是

，最小值是

与

及

的周期

的图像的联系

的简图．

，因此，我们先来作

．

1

0

－1

函数函数的简图．

列表：

的周期

，因此，我们先作

时0 0

0 1 0 －1 0

描点作图（图2）

师：利用函数的周期性，我们可将上面的简图向左、右扩展，得出

，

及

，

与

的简图．

的图像间的联系及

请同学们观察函数

与

生：在函数

的图像间的联系．

，

的图像上，横坐标为

（

）的点的纵坐标同

上横坐标为

的点的纵坐标相等，因此

的图像可以看做是把

的图像上所有点的横坐标缩短到原来的

倍（纵坐标不变）而得到的．

同样，

的图像可以看做把

的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）而得到的．

师：由例2中，请你探求函数

（系．

、

且

与

的图像的联系，

）的图像与

之间在联

生：函数

（

且

）的图像，可以看做是把的图像上所有点的横坐标缩短（当

时）或伸长（当

时）

到原来的

倍（纵坐标不变）而得到的．这种变换称为周期变换，

．

它是由

的变化而引起的，

与周期

的关系为

3．演练反馈（投影）

1．画出下列函数在长为一周期的闭区间上的简图

（1）

2．函数有什么联系．

3．说明如何由参考答案：

1．

，

（2）

的周期是什么？它的图像与正弦曲线

；由

2．周期是

，把

的图像上每个点的横坐标伸长

倍

的图像．

（纵坐标不变）即得

3．标不变）；把得

的图像沿

轴方向压缩

得

的图像（纵坐

的图像上纵坐标缩短

倍（横坐标不变），即

的图像．

4．总结提炼

（1）用“五点法”作

或

的简图时，先要确定

，

，周期，再将周期四等份，找出五个关键点：0，

，

，然后再列表、描点、作光滑曲线连接五个点．

（2）

的图像可以看做是把正弦曲线振幅变换而得到．

（3）函数而得．

的图像可以看作是把

图像经过

实施周期变换

（4）作图时，要注意坐标轴刻度，

轴是实数轴，角一律用弧度制．

教学设计示例二 （一）教学具准备

直尺、投影仪．

（二）教学目标

1．掌握由

的变换步骤．

2．利用平移、伸缩变换方法，作函数（三）教学过程

1．设置情境

师：上节课，我们学习了如何由

和

生：将

将

的图像通过变换得到

图像．

的变化过程，理解由

到

的图像，请同学复述一下变换的具体过程．

的图像通过振幅变换便得到

的图像通过周期变换就得到

的图像

的图像

的图像通过变

师：今天这节课，我们将继续学习如何由换手段分别得到函数

和

及

的图像）

的图像，（板书课题：

2．探索研究

（1）如何由

的图像通过变换得到

的图像

【例1】画出函数简图

，

，

，

的

师：由上一节画余弦函数的图像可知，函数

，

的图像可以看做把正弦曲线上所有的点向左平行移动

个单位长度而得到．

同学们能否用类比的方法由

的图像．

的图像得到

和

生：从

，即

的图像向左平移

个单位长度而得到

的图像得到启发，我们只要把正弦曲线上

的所有的点向左平行移动

个单位长度，就可以得到图像，如把正弦曲线上所有的点向右平移

个单位长度，就可以得到

函数

的图像．

，

，

，

在一个周期内的图像如图1所示：（用叠放投影胶片，依次叠放三个函数图像）

师：我们已经学过并且知道右平移关系，从例1中你能得到联系吗？

生：函数

，

（其中

）的图像可以看做把

时）

与

与

图像是一种左、

的图像之间的

的图像上所有的点向左（当平行移动

时）或向右（当

个单位长度而得到的，这种变换叫做平移变换．

的图像通过变换得到

的图像

（2）如何由

【例2】画出函数

，

的简图．

解：函数

的周期

，我们先画出它的长度为一个周期的闭区间上的简图．

列表

描点，连线得图2 0 0

3

0

－3

0

利用函数的周期性，我们可以把它在

上的简图向左、右分别扩展，从而得到它的简图．（用依次叠放投影片的方法投影展示上图）

师：函数法得到：先将

，

，

的图像，可以看作用下面的方

上所有的点向左平移

个单位长度，得到函数

的图像；再把后者所有点的横坐标缩短到原来

，

的图像；的

倍（纵坐标不变），得到函数再把所得到图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），从而得到函数

，

的图像．

师：我们已经知道函数

与

是一种延

轴

与

的方向上的伸缩变换，从例2中你能得到图像之间的联系吗？

生：函数

，

（其中

，

）的图像，

可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左（当时）或向右（当横坐标缩短（当

时）平行移动

时）或伸长（当

个单位长度，再把所得各点的

时）到原来的

倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（当

时）到原来的

倍（横坐标不变）．

我们小结一下上述步骤如下：

师：其步骤流程图如下：

时）或缩短（当

这一过程体现了由简单到复杂，特殊到一般的化归思想．

函数以用类似方法画出．

，

（其中

，

）的简图，可

（3）

、

、

的物理意义

当函数

当函数

，

（其中

，

）表示一个振动量时，

就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅．

往复振动一次所需要的时间位时间内往复振动的次数

称为相位；

，称为这个振动的周期；单

称为振动的频率．

时的相位

称为初相．

3．演练反馈（投影）

（1）要得到函数（

）

图像，只需将

的图像

A．向右平移

B．向左平移

C．向右平移左平移

D．向

（2）函数

的一个周期内图像如图3．则

的表达式

A．

B．

C．

D．

（3）把函数

的图像向左平移

个单位，再把图像上各点的横坐标压缩为原来的

，所得的解析式为_________．

参考答案：

（1）C．把

右移

，得

（2）D．因为比较知，是其左移

而得，即

，又

与

（3）变换过程如下：第一步得：

第二步得：

4．总结提炼

（1）了解三角函数图像的变化规律和方法，由

，此步骤只是平移（

，右移路：

①

②

即先平移后压缩．

即先压缩再平移．

个单位），而由

，左移

个单位；

可由二条思

不论哪一条路径，每一次变换都是对一个字母

而言的，如，

的图像向右平移

个单位，得到的应是不是倍，应是

；又

而不是

，而

的图像横坐标扩大到原来的2

．

（2）作函数图像的方法有多种，如描点法，五点作图法，根据奇、偶利用对称法等等，平移、变换法只是诸多作图法中一种，它与五点作图法同样重要，希望大家多练习，掌握变换次序上的技巧．

典型例题

例1．（l）利用“五点法”作函数出这个函数的振幅、周期和初相．

（2）怎样由解：（1）列表：

的图象得到

的图象，并指

的图象？

0 0

2

0

－2

2 0

描点：（

，0），（（

，－2），（

，2），（

，0），

，0）。

用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数

在一个周期内的简图（图1）．把这个简图利用函数的周期性向左、右扩展，就得到函数

振幅

的简图．

，周期

，初相

（2）解法一

①把函数数

的图象上所有点向右平移

个单位，得到函

图象上所有点的根坐

的图象；②把函数

标缩短到原来的

（纵坐标不变），得到函数③把函数

的图象；

图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍

的图象见图1．

（横坐标不变），就得到函数

解法二

①把函数

的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的

（纵坐标不变），得到函数

的图象；②把函数

图象上所有的点向右平移

个单位，得到函数③把函数

的图象；

的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的2

的图象见图1．

倍（根坐标不变），就得到函数

例2．已知函数

在一个周期内的简图（如图）。求其相应的函数表达式，并说明它是

经过怎样变换得到的。

分析：应求出A、

、

，观察图像易知振幅

，周期

，从而求得

，对于

，只需将点

代入解析式即可通过解方程获得。得知函数表达式则图像变换易知。

解：因为所以即

。将点

，由

得

，所以

代入上式得

，所以

，又易知

，

。

。

它的图像可由

的图像作如下变换得到：

或根据代

小结：利用图像特征确定函数解析式数条件确定解析式时，要注意以下几种常用方法：

（1）振幅

．

（2）相邻两个最值对应的横坐标之差，或者一个单调区间的长度为

，由此推出

值．

（3）确定

值，一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定．

例3．

函数

，当它表示一个振动量时，求出它的振幅、周期、频率。相位、初相．

解：振幅相是

。

，周期

，频率

，相位是

，初

例4．

单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离

（厘米）和时间

（秒）的函数关系为

（l）作出它的图像；

（2）单摆开始摆动（

）时，离开平衡位置多少厘米？

（3）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？

（4）单摆来回摆动一次需多少时间？

解：（l）找出曲线上的五个特殊点，列表如下：

…

…

…

0 0

6

0

－6

…

2 …

0 …

用光滑曲线连接这些点，得函数

的图像（如图）

（2）当

时，衡位置3

。

（3）开平衡位置6

，即单摆开始摆动时，离开平

的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离

。

的周期

，所以单摆来回摆动一次

（4）需要的时间为1

。

评注：在作图时，如无特殊声明，一般用五点法作图较简便

例5．函数

的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移

个

的图像，试求函数

的解析式．

单位，所得到的曲线是

分析：这个问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”，即将以上变换倒过来，由设

变换到

；二是代换法，即

，然后按题设中的变换分两步得：

，它就是值．

解：解法一：问题即是将得到

，即可求得

、

、

的

的图像先向右平移

个单位，

；再将横坐标压缩到原来的

，得

，即

．这就是所求函数

的解析式．

解法二：设到

，将它的横坐标伸长到原来的两倍得

；再将其图像向左平移

个单位，得

．

∴

解之得：

∴

，即

．

小结：以上两种解法各有“千秋”，均为求解类似问题的好方法，注意熟练掌握．

例6．已知函数

（

，

，

）的图像的一个最高点为（2，

），由这个最高点到相邻最低点，图像与

轴交于（6，0）点，试求这个函数的解析式．

解

∵最高点为（2，

∴

），

，由题意知从最高点到相邻最低点时交

轴于（6，0），

∴

∴

，即

．

．

∴

代入最高点坐标，

，

∴

∴

．

，

∴函数解析式为

习题精选

一、选择题

1．下列命题中正确的是（

）

A．将图像

的图像沿

轴向右平移

个单位，得到

的

B．函数平移

个单位得到

的图像，当

时由

的图像向右

C．

的图像可由

的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的

倍得到

D．

的图像可由

的图像上各点横坐标不变，纵坐标缩小为原来的

倍得到

2．函数

的图像可以由函数的图像经过下列哪种变换得到（

）

A．向右平移

个单位

B．向右平移

个单位

C．向左平移

个单位

D．向左平移

个单位

3．在

A．

C． 5．右图是周期为

的三角函数成（

）

A．

的图像，那么

可以写

D．

B．

上既是增函数，又是奇函数的是（

）

B．

C．

D． 6．函数

A．

的图像的一条对称轴方程是（

）

B．

C．

D．7．已知（

）

A．与

B．与

，

，则

的图像

的图像相同

的图像关于

轴对称

的图像

的图像

C．向左平

个单位，得到

D．向右平移

个单位，得到8．函数（

）

A．

C．

的图像关于原点中心对称的充要条件是

B．

（

（

）

（

）

）

D．9．正弦函数

的定义域为

，周期为

，初相为

，值域为［－1，3］，则其函数式的最简形式为（

）

A．

B．

C．10．函数（

）

D．

的周期为2（其中

），则

为

A．

B．

C．11．函数

A．

D．

的单调增区间为（

）

（

）

B．

（

）

C．

（

）

D．12．函数且

，（

）

（

（

）

）在区间［a，b］上是增函数，

在［a，b］上

，则函数

A．是增函数

B．是减函数

C．可以取得最大值最小值 二、填空题

13．正弦函数初相为

，值域为［－1，3］，则

的定义域为

，周期为

．

，

D．可以取得

14．函数

，当

时，取最小值．

15．将函数

的图像上各点向右平移

个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，然后把纵坐标伸长到原来的5倍，最后把整个图像向下平移4个单位，则所得图像的解析式为_____________．

16．关于函数

①由

可得

（

），有下列命题

必是

的整数倍；

②

的表达式可改写成

；

③

④

的图像关于点

的图像关于直线

对称；

④

的图像关于直线

对称．

其中正确命题的序号为___________．

三、解答题

17．求函数

18．已知函数

（

，

，

的单调区间．

）的最大值为4，最小值为0，最小正周期为

，其图像的一条对称轴为

．求该函数的解析式．

19．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数

．

（1）求这段时间的最大温差；

（2）写出这段曲线的函数解析式．

20．已知函数

．

（1）用“五点法”作函数图像；

（2）说出此图像与正弦曲线

之间的关系；

（3）求函数的周期、振幅、初相；

（4）指出函数的单调区间．

21．受日月引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．某港口水的深度

（米）是时间

（

，单位：时）的函数，记作3 6 9

，下面是该港口在某季节每天水深的数据：

（时）

0 12 15 18 21 24 （米）

10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0

经长期观察，

曲线可以近似地看做函数

的近似表达式．

的图像．

（1）根据以上数据，求出函数

（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米．如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？

参考答案：

一、选择题

1．C 2．B 3．D 5．D 6．A 7．D 8．B 9．A 10．A 11．C 12．C 二、填空题

13．

14．

（

）

15．

16．②、③

三、解答题

17．它的减区间即函数

（增区间为

18．由题意

又

，∴

，

，∴

的增区间，由

），即减区间为

（

）．

，∴

，

．

．

（

，得

），同样可求

∵

∴

从而

∵

是它的一条对称轴，∴

（

（

，∴

或

）．

）．

．

，

故该函数的解析式为

，

．

19．（1）由题中图所示，这段时间的最大温差是30－10＝20（℃）

（2）图中从6时到14时的图像是函数∴

，解得

．

的半个周期的图像，

由图示，

，

．

这时

．将

，

代入上式，可得

．

综上，所求解析式为

，

．

20．

（1）由

、

、

、

、

求出

、

、，

、

、

、

、

、

．（可以看到0、

、

、

、

间隔

、

、以不需要解五个方程分别求

．）

间隔

，所

0 0

0

0

在同一坐标系中，作出并用光滑曲线连接起来．

、

、

、

、

五个点，

（2）∵

∴首先将

，

，

的图像所有点向右平移

个单位；再把所得的图像上各点的横坐标缩短到原来的

倍（纵坐标不变）；最后把所得的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的

倍（横坐标不变），从而得到数的图像与正弦曲线之间的关系．

，

的图像，这就是此函

（3）周期依定义

（4）由

得

由

得

叫相位，

（也可以依据公式

，

来求）；振幅

．

；

时的

叫做初相，所以初相应该是

，

，

．

，

，

．

∴原函数单调增区间为

，

；

单调减区间为

21．（1）由数据知函数

，

的周期

．

，振幅

，

，

．

（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米．

（

，

）．

或1，

或，

，

（

），

在同一天内，取

∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口最多停留16小时．